На этой странице вы найдете готовые примеры по базовому разделу дискретной математики: элементам теории множеств. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.
Основные темы (множества) : задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.
Задачи с решениями о множествах онлайн
Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества 
, где 
— вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества 
?
Задача 2. Докажите тождество 
Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.
Задача 4. М — подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.
Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.
Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти . если
$A$ — множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ — множество делителей числа 28,
$C$ — множество нечетных чисел $X$, таких что $0 le X le 7$.
Задача 7. Задано универсальное множество $U=<1,2,3,4,5,6,7,8>$ и множества $X=<1,3,6,7>$, $Y=<3,4,7,8>$, $Z=<3,4,7,8>$. Записать булеан множества $X$, любое разбиение множества $Y$, покрытие множества $Z$. Выполнить действия $(X setminus Y)cap ar Z$.
Задача 8. Решить задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна.
Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?
Задача 9. Пусть $Р(А)$ – множество всех подмножеств множества $А$. В каждом из следующих упорядоченных множеств укажите все минимальные и все максимальные элементы; найдите наибольший и наименьший элементы, если они есть, или докажите их отсутствие:
Задача 10. В химическом продукте могут оказаться примеси четырёх видов – $a,b,c,d$. Приняв в качестве исходного множества $М = $, образуйте множество всех его подмножеств $В(М)$. Дайте содержательную интерпретацию этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?
Решение задач о множествах на заказ
Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.
1. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
Решение:
Обозначим:
U – множество всех туристов (универсальное множество);
А – множество туристов, знающих английский язык;
В – множество туристов, знающих французский язык.
Проиллюстрируем графически:
Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U (AU B) (на рисунке отмечено серым).
Дано:
m(A) = 70 (знают английский);
m(B) = 45 (знают французский);
m(AIB) = 23 (знают оба языка).
Найти:
Количество туристов, знающих хотя бы один язык:
Количество туристов, не знающих ни одного языка:
Ответ: 8 человек.
2. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике.
Результаты проверки ответов представлены в таблице:
| Получены правильные ответы на вопросы | Количество ответивших |
| по лексикологии | |
| по страноведению | |
| по стилистике | |
| по лексикологии и страноведению | |
| по лексикологии и стилистике | |
| по страноведению и стилистике |
Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?
Решение задачи:
Обозначим:
U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,
A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по лексикологии,
B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению,
С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике,
D — множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.
Проиллюстрируем графически:
Дано : m(U) = 40 (чел.) m(D) = 3 (чел.)
m(A) = 20 (чел.) m(AÇB) = 7 (чел.)
m(B) = 18 (чел.) m(AÇC) = 8 (чел.)
m(C) = 18 (чел.) m(BÇC) = 9 (чел.)
Найти:
2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?
Решение:
1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что
m(AÈBÈC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AÇB) – m(AÇC) – m(BÇC) + m(AÇBÇC)
Очевидно, что m(AÈBÈC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37
Подставив в формулу известные данные, получим:
37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(AÇBÇC) è m(AÇBÇC) = 5
Итак, на три вопроса ответили 5 студентов
2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:
d + e + f = (8 – m(AÇBÇC)) + (7 – m(AÇBÇC)) + (9 – m(AÇBÇC)) = 3 + 2 + 4 = 9
Ответ: 1) 5; 2) 9
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8516 — 
| 8103 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Разделы: Математика
На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.
Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.
Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.
Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.
Можно сделать такую запись определения множества:
, где
“
” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.
Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов
Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если 
, то 
, где “С” знак подмножества или включения.
Графически это выглядит так (рис.1):
Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.
Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).
Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.
Это определение можно записать с помощью обозначений:
А υ В, где 
где “ υ ” – знак объединения,
“ / ” – заменяет слова ”таких что“
Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:
А ∩ В = С, где
“∩“ – знак пересечения. (рис.3)
Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где 
A С Е (“”- любо число), т.е. А 
Е = Е; АЕ =А
Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)
Е
Примерами для понимания этих понятий являются свойства:
А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā
Свойства дополнения имеют свойства двойственности:
АВ = А∩В
АВ = АUВ
Введем еще одно понятие – это мощность множества.
Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.
Из определение следуют свойства:
Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:
m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)
m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)
m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).
А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.
Задача №1
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.
По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.
- Сколько учащихся решили все задачи?
- Сколько учащихся решили только две задачи?
- Сколько учащихся решили только одну задачу?
Задача № 2
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Задача № 3
В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.
Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?
Решение задачи № 1
Запишем коротко условие и покажем решение:
- m (Е) = 40
- m (А) = 20
- m (В) = 18
- m (С) = 18
- m (А∩В) = 7
- m (А∩С) = 8
- m (В∩С) = 9
m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37
Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).
К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;
К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;
К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;
К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;
К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;
К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;
К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;
К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:
- m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
- m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
- m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
- m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
- m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
- m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
- m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
- m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
- m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
- m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.
Ответ:
5 учеников решили три задачи;
9 учеников решили только по две задачи;
23 ученика решили только по одной задаче.
С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:
Решение задачи № 2
- m (АВ) = 33
- m (АС) = 31
- m (ВС) = 32
- m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20
Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )
- m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
- m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
- m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
- m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
- m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
- m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
- 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
- 2m (К 1 ) + 12 = 24
- m (К 3 )= 13-6=7
- m (К 7 )=12-7=5
- m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18
Ответ:
Только одну контрольную работу решили 18 учеников.
Решение задачи № 3
- m (Е) = 35
- m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
- m (А∩В)= 15
- m (А∩С)= 13
- m (В∩С)= 9
Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )
- m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
- m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
- m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
- m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10
Ответ:
Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.
Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»