В партии 10 нестандартных деталей

В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.
Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:

1) Вообще нет нестандартных.

2) Одна нестандартная.

3) Две нестандартные детали.

4) Три нестандартные детали.

5) Четыре нестандартных детали.

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Задача 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х — число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:

х₁=0 — все детали стандартны из двух отобранных;

х₂=1 — одна из двух отобранных деталей не стандартна;

х₃=2 — обе отобранные детали нестандартны. Так как вероятность отбора нестандартной детали p=0,1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)= p k q n-k , где q=1- p=0,9.

P₂(0)= C (0,1) 0 (0,9) 2 =0,81,

P₂(1)=C 0,1 0,9=0,18,

P₂(2)=C (0,1) 2 (0,9) 0 =0,01.

Проверяем условие нормировки =1.

Имеем, что 0,81+0,18+0,01=1.

Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

х
p	0,81	0,18	0,01

.

Тот же результат можно было получить, используя формулу

для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.

n = 2 — число испытаний;

p = 0,1 — вероятность успеха в каждом испытании;

Дисперсию найдем по формуле:

.

По формуле для дисперсии биномиального закона:

.

Задача 2. В урне лежат 5 шаров. Из них 3 белых и 2 черных. Построить закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди 2 отобранных.

Решение. Среди 2 отобранных шаров белых может быть 0,1 или 2. Значит, значения случайной величины . Вероятность того, что найдем как вероятность того, что среди 2 отобранных шаров белых будет 0, а черных 2. По классическому определению вероятности .

Здесь — число способов, сколькими можно из 5 шаров выбрать любые 2 – общее число исходов эксперимента.

— число способов выбрать 0 белых шаров среди 3 белых.

— число способов выбрать 2 черных шара среди 2 черных.

Тогда .

Вероятность того, что найдем аналогично

Проверяем условие нормировки . Тогда, закон распределения Х примет вид

х
p	0, 1	0,6	0,3

Задача 3. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:

X	Y
p	0,4	0,6	p	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение.Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.

0+1=1 0+2=2 1+1=2 1+2=3

Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.

Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y — значение 1, то случайное событие Z=1 является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий Х=0 и Y=1. Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:

P(Z=1)=P<(X=0)(Y=1)>=P(X=0)P(Y=1)=0,4 0,2=0,08= .

Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие Z=2 – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:

=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0,4 0,8+0,6 0,2=0,32+0,12=0,44= .

Рассуждая аналогично, найдем:

P(Z=3)=P<(X=1)(Y=2)>=P(X=1)P(Y=2)=0,6 0,8=0,48= .

Проверим выполнение условия нормировки: =0,08+0,44+0,48=1.

Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:

Z
p	0,08	0,44	0,48

Варианты задачи 4.

1. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго — 0,8. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

2. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

X	Y
p	0,4	0,1	0,5	p	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

3. Даны законы распределения 2-х независимых случайных величин:

X	Y
p	0,4	0,2	0,1	0,3	p	0,5	0,25	0,25

Составить закон распределения их разности, а затем проверить выполнение следующих свойств математического ожидания и дисперсии:

M(X-Y) = M(X) — M(Y); D(X-Y) = D(X) + D(Y).

4. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

5. Дан закон распределения случайной величины X:

X	-2
0,1	0,5	0,1	0,3

Составить законы распределения случайных величин и 3x и найти среднеквадратическое отклонение случайной величины X.

6. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения биномиальной дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить функцию распределения.

7.Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить биномиальный закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Построить функцию распределения.

8. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди 2-х отобранных и построить функцию распределения.

9. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании 2-х игральных костей.

10. Составить таблицу распределения вероятностей для суммы очков, выпавших при бросании 2-х игральных костей.

11. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень при 3-х выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна .

12. Найти функцию распределения для числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты и построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.

13.В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных и дисперсию.

14. Найти математическое ожидание случайной величины Х — числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 6 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

15.Составить функцию распределения для числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты и построить ее график.

16. Два спортсмена кидают мяч в корзину. Вероятность попадания в нее первым спортсменом равна 0,5; вторым — 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в корзину.

17. Даны законы распределения 2-х независимых случайных величин:

X	-1	Y
p	0,1	0,6	0,3	p	0,1	0,3	0,6

Составить закон распределения их произведения. Проверить выполнение следующего свойства математического ожидания M(XY) = M(X) M(Y).

18. Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго и третьего — 0,8. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень. Найти функцию распределения и построить ее график.

19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится шесть выстрелов. Составить закон распределения числа: а) попаданий; б) непопаданий в цель.

20. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X	Y
p	0,6	0,1	0,3	p	0,8	0,2

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Ответ

Пошаговое объяснение:

Закон распределения для четырех деталей по формуле:

P(A) = (p + q)⁴ = p⁴+4*p³*q+6*p²*q²+4*p*q³+q⁴ = 1

q= 10% = 0.1 p= 1 — q = 0.9.

Расчет и график функции на рисунке в приложении.

Словами к графику — вероятность — четыре годных — 0,6561, четыре брака — 0,0001