Составить ряд распределения числа

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах. Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

Калькуляторы на характеристики ДСВ

Решенные задачи о ДСВ

Распределения, близкие к геометрическому

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $xi$ — число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|xi-m| le sigma$.

Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $xi$ — число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

Задачи с независимыми событиями

Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй — 0,7, третий — 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(xi), D(xi)$.

Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ — числа попаданий. Найти вероятность того, что $X ge 1$.

Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

Другие задачи и законы распределения ДСВ

Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ — разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 lt X le 1)$.

Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике свое (от 30 рублей и мгновенная доставка):

Производится n опытов по схеме Бернулли с вероятностью успеха p . Пусть X — число успехов. Случайная величина X имеет область значений <0,1,2. n>. Вероятности этих значений можно найти по формуле: , где C m _n — число сочетаний из n по m .
Ряд распределения имеет вид:

x		1	.	m	n
p	(1-p) n	np(1-p) n-1	.	C m np m (1-p) n-m	p n

Этот закон распределения называется биноминальным.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биноминальному закону

Дисперсия случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.
D[X]=npq

Пример №1 . Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое. Из партии выбирают три изделия. Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х ; б) функцию распределения F(x) .
Решение. Случайная величина X имеет область значений <0,1,2,3>.
Найдем ряд распределения X.
P₃(0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P₃(1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P₃(3) = p n = 0.3 3 = 0.027

xi		1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Математическое ожидание находим по формуле M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
Проверка: m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
Дисперсию находим по формуле D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Проверка: d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 — 0.9 2 = 0.63
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).
F(x 3) = 1

1. Вероятность появления события в одном испытании равна 0.6 . Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
2. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8 .
3. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Примечание: здесь вероятность появление герба равна p = 1/2 (т.к. у монеты две стороны).

Пример №2 . Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6 . Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1 , больше 0.97 . (Ответ: 801)

Пример №3 . Студенты выполняют контрольную работу в классе информатики. Работа состоит из трех задач. Для получения хорошей оценки нужно найти правильные ответы не меньше чем на две задачи. К каждой задаче дается 5 ответов из которых только одна правильная. Студент выбирает ответ наугад. Какая вероятность того, что он получит хорошую оценку?
Решение. Вероятность правильно ответить на вопрос: p=1/5=0.2; n=3.
Эти данные необходимо ввести в калькулятор. В ответ см. для P(2)+P(3).

Пример №4 . Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна (m+n)/(m+n+2) . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Примечание. Вероятность того, что он промахнется не более двух раз включает в себя следующие события: ни разу не промахнется P(4), промахнется один раз P(3), промахнется два раза P(2).

Пример №5 . Определите распределение вероятностей числа отказавших самолётов, если влетает 4 машины. Вероятность безотказной работы самолета Р=0.99 . Число отказавших в каждом вылете самолётов распределено по биноминальному закону. Задача 4. Среди 11 изделий 7 изделия первого сорта. Наудачу выбрали четыре изделия. случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных четырех изделий.
1. Составить закон распределения случайной величины X .
2. Построить полигон относительных частот.
3. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X , построить ее график.
4. Найти характеристики случайной величины X :
а) математическое ожидание M(X) ;
б) дисперсию D(X) , среднее квадратическое отклонение σ( Х );
в) моду M.

Решение находим с помощью калькулятора.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
P_n(m) = C m _np m q n-m
где C m _n — число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P₄(0) = (1-p) n = (1-0.636) 4 = 0.0176
P₄(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.636) 4-1 = 0.12


P₄(4) = p n = 0.636 4 = 0.16

xi		1	2	3	4
pi	0,0176	0,12	0,32	0,37	0,16

Полигон относительных частот

Мода равна тому значению X, при котором вероятность максимальная. В данном примере максимальная вероятность p =0,37 соответствует X = 3.

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0176 + 1*0.12 + 2*0.32 + 3*0.37 + 4*0.16 = 2.54
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .

Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0176 + 1 2 *0.12 + 2 2 *0.32 + 3 2 *0.37 + 4 2 *0.16 — 2.54 2 = 0.92601646

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0 4) = 1

Пример 1 . Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. X — число трамваев, прибывших по расписанию из 4 исследуемых. Составить закон распределения дискретной случайной величины X, вычислить M(X), D(X), σ(X), построить многоугольник распределения и график функции распределения F(X).
Решение. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
P_n(m) = C m _np m q n-m
где C m _n — число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P₄(0) = (1-p) n = (1-0.7) 4 = 0.0081
P₄(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.7) 4-1 = 0.0756


P₄(4) = p n = 0.7 4 = 0.2401

x		1	2	3	4
p	0.0081	0.0756	0.2646	0.4116	0.2401

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0081 + 1*0.0756 + 2*0.2646 + 3*0.4116 + 4*0.2401 = 2.8
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0081 + 1 2 *0.0756 + 2 2 *0.2646 + 3 2 *0.4116 + 4 2 *0.2401 — 2.8 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пример 2 . Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна 0.8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок?
Решение. Задачу решаем с помощью калькулятора Схема Бернулли . В поле вероятность вводим значение p = 1- 0 .8 = 0.2 , поскольку нас интересует вероятность поломки.

Ответ: Вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок равна 0.0256.

Определение 5.4. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Определение 5.5. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу (таблица 5.1), состоящую из двух строк: в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности того, что случайная величина примет эти значения.

			…
			…

Если число значений случайной величины счетное, то таблица содержит бесконечное множество ячеек. В таком случае должно быть задано правило, по которому определяются вероятности . Вероятности в этой таблице подчиняются условию (или соответственно в случае бесконечного множества элементарных исходов.)

Функция распределения дискретной случайной величины определяется как

Функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой (рис. 7), причем величины скачков равны вероятностям соответствующих реализаций случайной величины .

рис. 7

Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике распределения дискретных случайных величин.

1. Биномиальное распределение.Говорят, что дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону, если она принимает значения с вероятностями

, ,

где , .

Заметим, что биномиальное распределение является распределением числа успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха .

2. Распределение Пуассона.Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

,

где – параметр распределения Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

3. Геометрическое распределение.Рассмотрим схему Бернулли. Пусть – число испытаний до первого «успеха». Тогда – дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями

,

где .

В этом случае говорят, что дискретная случайная величина распределена согласно геометрическому закону.

Пример 5.1. Игральную кость бросают один раз. Если выпадает четное число очков, игрок выигрывает 8 у.е., если нечетное, но больше одного – проигрывает 1 у.е., если выпадает одно очко – проигрывает 10 у.е. Найти распределение случайной величины Х – величины выигрыша в данной игре.

Решение. Пространство элементарных исходов в данном случае имеет вид , где — выпадение i очков. .

Случайная величина Х может принимать три значения: , , , причем справедливо

, , .

, , .

Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице 5.2.

	-10	-1

Найдем функцию распределения случайной величины Х. В силу определения получаем

Графическое изображение распределения случайной величины Х приведено на рис. 8.

рис. 8

Пример 5.2. Производят четыре независимых опыта, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью . Построить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений события А в четырех опытах.

Решение. В данной задаче реализуется схема Бернулли. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами , . Следовательно, закон распределения случайной величины Х примет вид:

.

Для получения ряда распределения вычислим соответствующие вероятности:

,

,

,

,

	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Расчетное задание №8

8.1. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Испытания заканчиваются, если прибор оказался ненадежным. Простроить ряд распределения числа испытаний, если вероятность выдержать испытания для прибора равна 0,9.

8.2. Вероятность того, что автомат при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет до первой правильной работы автомата.

8.3. У игрока 6 бит. Построить ряд распределения числа неиспользованных бит, если вероятность выбить городок одним броском равна 0,6.

8.4. Производится ряд выстрелов из орудия с вероятностью попадания 0,8. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше 4-х выстрелов. Составить ряд распределения числа производимых выстрелов.

8.5. Имеется 6 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали равна 0,9. Построить ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

8.6. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Составить ряд распределения числа выбитых очков.

8.7. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить ряд распределения числа мальчиков в семье, имеющей 5 детей.

8.8. В урне 3 красных и 5 белых шаров. Наугад берут 4 шара. Если вынуто не менее 2-х красных шаров, то игрок получает 1рубль, в противном случае – теряет 0,5 рубля. Составить ряд распределения выигрыша при 2-х выниманиях.

8.9. На пути автобуса 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 разрешает дальнейшее движение автобуса. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автобусом без задержки.

8.10. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до попадания. Построить ряд распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания в цель равна 0,25.

8.11. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

8.12. Производится испытание двух агрегатов. Вероятность того, что агрегат успешно выдержит испытание, равна 0,8. Найти ряд распределения числа агрегатов, успешно выдержавших испытание.

8.13. Производится два выстрела по самолету. Вероятность попадания 0,3. Построить ряд распределения случайной величины числа попаданий в самолет.

8.14. Устройство состоит из двух агрегатов, выходящих из строя с вероятностями 0,1 и 0,15. Составить ряд распределения для случайной величины – числа агрегатов устройства, вышедших из строя.

8.15. В контролируемой детали подвергаются измерениям три размера в трех плоскостях. При каждом из них она оказывается годной с вероятностью 0,5. Для одной детали построить ряд распределения числа годных размеров.

8.16. Из урны, в которой лежат 2 белых и 8 черных шаров, вынимают три шара. Построить ряд распределения для случайной величины – числа вынутых белых шаров.

8.17. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

8.18. В первой партии деталей 12 стандартных и 4 бракованных, во второй – соответственно 10 и 5. Из второй партии наугад перекладывают 3 детали. Составить ряд распределения для случайной величины – числа бракованных деталей в первой партии после перекладывания.

8.19. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Найти ряд распределения случайной величины числа недействующих аппаратов из выбранных.

8.20. Написать ряд распределения вероятностей для числа переключения передач при двух заездах автомобиля, если вероятность переключения 0,4. Считать, что в одном заезде возможно не более одного переключения.

8.21. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго – 0,6.

8.22. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Построить ряд распределения для случайного числа появлений герба.

8.23. Бросание колец на колышек продолжается до первого попадания. Найти ряд распределения случайного расхода колец, если вероятность попадания от броска к броску не меняется и равна 0,6.

8.24. Найти ряд распределения для числа бомбометаний, если они производятся до первого попадания и вероятность попадания при одном броске равна 0,4.

8.25. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске для первого 0,8, для второго – 0,75. Всего производится три броска. Составить законы распределения числа попаданий для каждого игрока, если начинает бросать первый баскетболист.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9634 — | 7524 — или читать все.