 |
Формулу высоты равнобедренного треугольника можно получить из теоремы Пифагора, а также по формуле Герона
Высота равнобедренного треугольника из теоремы Пифагора, формула
после подстановки коэфициента p в формулу получим
далее вносим под корень 2 и знаменатель b
Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.
Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.
Рассмотрим каждый случай по отдельности.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.
Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:
Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.
Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.
Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:
Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне
Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.
Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sinα
Формула через боковую сторону и угол напротив основания β: 
Формула через основание и угол при нем α: 
через основание и угол противолежащий ему β: 
Определение
В общем случае, высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону. В равнобедренном треугольнике под высотой обычно подразумевают высоту, опущенную на основание.
Если по условию задачи нужно найти значение высоты равнобедренного треугольника без уточнений, какую именно высоту требуется найти, то имеется в виду высота, опущенная на основание.
Необходимые теоремы
Для решения задач на определение высоты равнобедренного треугольника, нужно знать теорему Пифагора и свойство высоты равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Свойство: в равнобедренному треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Рис. 1. Иллюстрация свойства.
Из теоремы и свойства следует основная формула высоты равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с высотой АН и основанием ВС. Тогда треугольник АВН является прямоугольным. Запишем значение высоты через теорему Пифагора, так как в треугольнике АВН высота АН является катетом.
$$ВН=<1over2>*ВС$$, так как АН является медианой. Это и есть формула высоты равнобедренного треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Задача
Решим задачу, где будет задействована не только высота, проведенная к основанию, но другая высота. В равнобедренном треугольнике, как и в любом другом, их три. В задаче также будет применен способ нахождения высоты, который можно использовать для любого треугольника, а не только для равнобедренного.
В Равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведены высоты АН и ВР. Синус угла АСВ равен 0,6, а боковая сторона 5. Найти высоту ВР.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Для начала, необходимо найти значение высоты, проведенной к основанию и основания. Для этого обратим внимание на прямоугольный треугольник АСН. Воспользуемся определением синуса.
Синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Нам известно значение синуса, значит:
$$<АНover<АС>>=0,6$$ – из этого отношения выразим значение АН.
Через теорему Пифагора найдем значение НС:
Тогда основание равно:
Теперь найдем площадь треугольника:
С другой стороны площадь можно найти и через высоту ВР.
$$S=<1over2>*ВР*АС$$ – так как ВР это высота, проведенная к стороне АС.
Значит верно утверждение:
Что мы узнали?
Мы вывели формулу высоты прямоугольного треугольника. Определили, что высота в прямоугольном треугольнике может находиться любым способом, связанным с произвольным треугольником и решили интересную задачу на нахождение высоты треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 103.
Не понравилось? — Напиши в комментариях, чего не хватает.
Содержание
- Определение
- Необходимые теоремы
- Задача
- Что мы узнали?
Бонус
Высота равнобедренного треугольника
- Точка пересечения высот треугольника
- Точка пересечения медиан треугольника
- Свойства внешнего угла треугольника
- Внешний угол треугольника
- Биссектриса равнобедренного треугольника
- Боковая сторона равнобедренного треугольника
- Гипотенуза равнобедренного треугольника
- Стороны равнобедренного треугольника
- Сумма углов прямоугольного треугольника
По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.
- 1. Наталия Дробот 198
- 2. Соня Зверева 153
- 3. Михаил Тяпин 143
- 4. Иоанн Стефановский 107
- 5. Оля Проскурина 85
- 6. Игорь Проскуренко 79
- 7. Илья Першин 70
- 8. Ирина Волкова 69
- 9. Мария Кауфман 65
- 10. Батыр Джанаев 58
- 1. Мария Николаевна 13,350
- 2. Лариса Самодурова 12,635
- 3. Liza 12,085
- 4. TorkMen 11,366
- 5. Кристина Волосочева 11,210
- 6. Ekaterina 11,051
- 7. Влад Лубенков 10,975
- 8. Лиса 10,970
- 9. Юлия Бронникова 10,725
- 10. Вячеслав 10,690
Самые активные участники недели:
- 1. Виктория Нойманн — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
- 2. Bulat Sadykov — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
- 3. Дарья Волкова — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:
- 1. Наталья Старостина — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
- 2. Николай З — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
- 3. Давид Мельников — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.