Как найти нод двух многочленов

делителем f(z)), если существует многочлен h(z) такой, что

Пример 8. Многочлен z2 — 1 делится на многочлен z + 1, так как

z2 — 1 = (z + 1)(z — 1).

Замечание. Константа a = 0 является делителем любого многочлена.

Например, 3z + 5 делится на 7. Действительно, .

Многочлен d(z) называется наибольшим общим делителем многочленов f(z) и g(z), если выполнены условия:

1) d(z) является делителем f (z) и g(z) (т. е. это общий делитель);

2) если какой-либо h(z) делит f(z) и g(z), то h(z) делит и d(z) (т. е. это наибольший общий делитель).

Замечание. HOД(f(z), g(z)) находится с точностью до постоянного множителя: если d(z) = НОД(f(z), g(z)), c ∈ C, c = 0, то и c • d(z) = НОД(f(z),g(z)). Если же HOД(f(z),g(z)) = a ∈ C, то многочлены f(z) и g(z) называются взаимно простыми.

Укажем алгоритм, позволяющий находить НОД двух многочленов (алгоритм Евклида). Пусть deg f(z) > deg g(z). Пользуясь теоремой о делении с остатком, запишем ряд соотношений:

Здесь мы сначала f(z) разделили на g(z), получив в остатке ri(z); затем g(z) разделили на ri(z), получив в остатке r2(z); затем каждый . делим на . обозначая остаток через . Так как степени остатков строго убывают, то на некотором шаге остаток будет равен 0. Окончание алгоритма Евклида запишется так:

Теорема 5. Последний не равный 0 остаток (z) в алгоритме Евклида является НОД(f(z),g(z)).

Вычисляет наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов методом Евклида с возможн

Калькулятор вычисляет наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов методом Евклида. Коэффициенты многочлена могут быть целыми, простыми дробями или комплексными числами с целыми или дробными коэффициентами. Результатом является полином, который делит оба исходных полинома без остатка или единица, если такого полинома не нашлось.

Наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов

Проблема взрывного роста коэффициентов остатков

При вычислении НОД для полиномов значительных степеней, коэффициенты остатков довольно быстро растут, это можно увидеть на примере данных по-умолчанию. Поэтому, для сокращения размера коэффициентов используют псевдоделение, что позволяет находить НОД в целых числах и минимизировать коэффициенты. В калькуляторе можно выбрать один из 3-х способов сокращения остатков, не считая тривиального псевдоделения, где просиходит избавление от дробей, но коэффициенты остатков не сокращаются.

Максимальное сокращение коэффициентов можно получить, поделив, коэффициенты остатка на общий НОД коэффициентов, но этот способ может быть вычислительно сложным для полиномов больших степеней со сложными коэффициентами.

В качестве компромиссного варианта используют алгоритмы на основе вычисления субрезультанта псевдоостатков полиномов (Subresultant PRS). Наш калькулятор использует два таких алгоритма (Алгоритм 1 и Алгоритм 3), описанные В.С. Брауном в статье The Subresultant PRS Algorithm 1 .
Для оценки работы алгоритма калькулятор выводит таблицу псевдоостатков и вычисляет НОД их коэффициентов. Чем меньше НОД в этой таблице, тем эффективнее работает алгоритм.

Рассматривается вычисление наибольшего общего делителя (НОД) двух многочленов. Принцип который используется, такой же как и для нахождения НОД обычных чисел.

Отличие нашего калькулятора в том, что

1. Он показывает промежуточные остатки при вычислении

2. Многочлены могут быть комплексными, то есть содержать мнимые числа.

Теории больше не будет, и сразу перейдем к примерам вычисления, и вы поймете, как это вычисляется.

Найти НОД двух многочленов

Сначала выбираем тот полином у которого степень выше и коэффицент при этой степени наибольший.

Делим один на другой f(x) на g(x). Можно делать это руками а можно воспользоваться калькулятором деления многочлена на многочлен.

Теперь делим уже g(x) на полученный остаток

Еще раз проделываем процедуру

Если мы еще раз проведем такую же процедуру то получим в остатке ноль.

Закончили деление и смотрим на результат.

Предпоследнее значение от деления двух многочленов и есть значение НОД.

То есть наш ответ

Кто хочет получить результат в виде дроби то стоит обратить внимание на Непрерывные, цепные дроби онлайн которая нам это значение в виде дроби и окончательный красивый ответ есть

НОД двух функций

и

Выписыаем коэффициенты полиномов в строку разделяя их пробелом.

1 1 -4 0 5 это у нас первый полином

2 -1 -2 2 а это второй

Вводим их в соответсвующие поля и нажимаем рассчитать.

То есть всё то что мы делали руками.

Попробуем найти НОД комплексных многочленов

Пишем любые коэффициенты с мнимыми значениями и получаем

Еще один пример, с "нюансом"

Смотрите!! НОД не равен так как на предыдущей строке, уже получается ноль, правда с погрешность после 11 знака после запятой, но мы то с Вами понимаем (. ) что это все равно ноль.

И наш правильный ответ или вынеся за скобку общий множитель получаем что НОД равен

Да, некоторые возразят "Ну, тут еще и думать надо.." Хотелось бы возразить, но не буду, так как согласен с ними что "Думать надо!"

Надеюсь, Ваши расчеты стали еще проще и быстрее!