Уравнение лапласа в сферических координатах

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 <displaystyle <frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>+<frac <partial ^<2>u><partial y^<2>>>+<frac <partial ^<2>u><partial z^<2>>>=0>

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 <displaystyle <frac <partial ^<2>u><partial x^<2>>>+<frac <partial ^<2>u><partial y^<2>>>=0>

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . <displaystyle Delta =<frac <partial ^<2>><partial x^<2>>>+<frac <partial ^<2>><partial y^<2>>>+<frac <partial ^<2>><partial z^<2>>>+. >

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как Δ u = 0 <displaystyle Delta u=0>

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Содержание

Другие формы уравнения Лапласа [ править | править код ]

• В сферических координатах ( r , θ , φ ) <displaystyle (r, heta ,varphi )>уравнение имеет вид

1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 <displaystyle <1 over r^<2>><partial over partial r>left(r^<2><partial f over partial r>
ight)+<1 over r^<2>sin heta ><partial over partial heta >left(sin heta <partial f over partial heta >
ight)+<1 over r^<2>sin ^<2> heta ><partial ^<2>f over partial varphi ^<2>>=0>

Особые точки r = 0 , θ = 0 , θ = π <displaystyle r=0, heta =0, heta =pi > .

• В полярных координатах ( r , φ ) <displaystyle (r,varphi )>уравнение имеет вид

1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 <displaystyle <frac <1>><frac <partial ><partial r>>left(r<frac <partial u><partial r>>
ight)+<frac <1><2>>><frac <partial ^<2>u><partial varphi ^<2>>>=0>

Особая точка r = 0 <displaystyle r=0> .

• В цилиндрических координатах ( r , φ , z ) <displaystyle (r,varphi ,z)>уравнение имеет вид

1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 <displaystyle <1 over r><partial over partial r>left(r<partial f over partial r>
ight)+<partial ^<2>f over partial z^<2>>+<1 over r^<2>><partial ^<2>f over partial varphi ^<2>>=0>

Особая точка r = 0 <displaystyle r=0> .

Применение уравнения Лапласа [ править | править код ]

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа [ править | править код ]

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение [ править | править код ]

Одномерное пространство [ править | править код ]

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

f ( x ) = C 1 x + C 2 <displaystyle f(x)=C_<1>x+C_<2>>

где C 1 , C 2 <displaystyle C_<1>,C_<2>> — произвольные постоянные.

Двумерное пространство [ править | править код ]

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

φ x x + φ y y = 0. <displaystyle varphi _+varphi _=0.>

Аналитические функции [ править | править код ]

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , <displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),>

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

<frac <partial u><partial y>>=-<frac <partial v><partial x>>.>

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

u y y = ( − v x ) y = − ( v y ) x = − ( u x ) x . <displaystyle u_=(-v_)_=-(v_)_=-(u_)_.>

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция Грина [ править | править код ]

Задача Дирихле [ править | править код ]

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана [ править | править код ]

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Этот раздел не завершён.

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Ссылки

• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
• Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
• Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Уравнение Лапласа" в других словарях:

уравнение Лапласа — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Laplace s equation … Справочник технического переводчика

Лапласа уравнение — Уравнение Лапласа уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном… … Википедия

Уравнение в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… … Википедия

Уравнение Пуассона — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике. Оно названо в честь знаменитого… … Википедия

Уравнение колебаний струны — Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

Уравнение колебания струны — Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

Лапласа оператор — Оператор Лапласа (лапласиан) дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию . Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в… … Википедия

ЛАПЛАСА — БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ — Бельтрами уравнение, обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций ина произвольном двумерном римановом многообразии R класса С 2. Для поверхности R с локальными координатами x, h и первой квадратичной формой Л. Б. у.… … Математическая энциклопедия

ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — лапласиан, дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2 го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе,… … Математическая энциклопедия

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… … Физическая энциклопедия

Оператор Лапласа определяется выражением

и в декартовой системе координат описывается формулой

Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат

Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим

Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой

Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Уравнением Лапласа называют уравнение вида .

Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.

Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.

Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует

где и — произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.

Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и . В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид

Нетрудно найти решение этого уравнения

Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса , если

Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде

Решим это уравнение

градиент криволинейный ламе дифференциальный

Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что , получим . Из условия получим