Треугольник образованный основаниями биссектрис

пДЙО ЙЪ ХЗМПЧ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ТБЧЕО 120°. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ФТЕХЗПМШОЙЛ, ПВТБЪПЧБООЩК ПУОПЧБОЙСНЙ ВЙУУЕЛФТЙУ ДБООПЗП, РТСНПХЗПМШОЩК.

рПДУЛБЪЛБ

рХУФШ AE Й BD – ВЙУУЕЛФТЙУЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC Й ∠ B = 120°. фПЗДБ BE – ВЙУУЕЛФТЙУБ ХЗМБ DBK , УНЕЦОПЗП У ХЗМПН ABD .

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ AE, BD Й CM – ВЙУУЕЛФТЙУЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC Й ∠ B = 120°. оБ РТПДПМЦЕОЙЙ УФПТПОЩ AB ЪБ ФПЮЛХ B ЧПЪШНЈН ФПЮЛХ K . рПУЛПМШЛХ
∠ EBK = 180° – 120° = 60° = ∠ DBE , ФП BE – ВЙУУЕЛФТЙУБ ХЗМБ DBK , УНЕЦОПЗП У ХЗМПН ABD . рПЬФПНХ ФПЮЛБ E ТБЧОПХДБМЕОБ ПФ РТСНЩИ AB Й DB , Б ФБЛ ЛБЛ ПОБ МЕЦЙФ ОБ ВЙУУЕЛФТЙУЕ ХЗМБ A , ФП ПОБ ТБЧОПХДБМЕОБ ПФ РТСНЩИ AB Й CD . ъОБЮЙФ, ФПЮЛБ E ТБЧОПХДБМЕОБ ПФ УФПТПО ХЗМБ BDC , ФП ЕУФШ DE – ВЙУУЕЛФТЙУБ ХЗМБ BDC . бОБМПЗЙЮОП DM – ВЙУУЕЛФТЙУБ ХЗМБ ADB . уМЕДПЧБФЕМШОП, ∠ MDE = ½ (∠ ADB + ∠ BDC ) = 90°.

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

web-УБКФ
оБЪЧБОЙЕ	уЙУФЕНБ ЪБДБЮ РП ЗЕПНЕФТЙЙ т.л.зПТДЙОБ
URL	http://zadachi.mccme.ru
ЪБДБЮБ
оПНЕТ	1119
ЛОЙЗБ
бЧФПТ	рТБУПМПЧ ч.ч.
зПД ЙЪДБОЙС	2001
оБЪЧБОЙЕ	ъБДБЮЙ РП РМБОЙНЕФТЙЙ
йЪДБФЕМШУФЧП	нгонп
йЪДБОЙЕ	4*
ЗМБЧБ
оПНЕТ	5
оБЪЧБОЙЕ	фТЕХЗПМШОЙЛЙ
РБТБЗТБЖ
оПНЕТ	4
оБЪЧБОЙЕ	фТЕХЗПМШОЙЛЙ У ХЗМБНЙ 60 Й 120 ЗТБДХУПЧ
фЕНБ	фТЕХЗПМШОЙЛЙ У ХЗМБНЙ 60њ Й 120њ
ЪБДБЮБ
оПНЕТ	05.030

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Биссектри́са (от лат. bi — «двойное», и sectio — «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла [1] .

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Содержание

Связанные понятия [ править | править код ]

• В любом треугольнике A B C <displaystyle ABC>, кроме внутренней или просто биссектри́сы, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
• Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектри́с до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно J A , J B , J C <displaystyle J_,J_,J_>) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами J A , J B , J C <displaystyle J_,J_,J_>, которые касаются соответственно сторон a , b , c <displaystyle a,b,c>исходного треугольника.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника Δ J A J B J C <displaystyle Delta J_J_J_>
• Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей J A , J B , J C <displaystyle J_,J_,J_>, является центром эллипса МандАра. Эту точку называют по-английски m >[2][3]

Свойства [ править | править код ]

Свойства точек пересечения биссектрис [ править | править код ]

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами [ править | править код ]

• Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
• Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника [ править | править код ]

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис [ править | править код ]

• Точка пересечения биссектрисы со стороной треугольника называется основанием биссектрисы.

• Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть B D C D = A B A C <displaystyle <frac >=<frac >>или B D A B = C D A C <displaystyle <frac >=<frac >>.
• Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
• Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основаниявнутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
• Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основаниябиссектрис . [4]

Свойства осей биссектрис [ править | править код ]

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
• Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Оберачетырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

Другие свойства [ править | править код ]

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутреннимимедианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, [5] причём даже при наличии трисектора. [6]
• Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника[7] .

Длина биссектрис в треугольнике [ править | править код ]

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

l c = a b ( a + b + c ) ( a + b − c ) a + b = 2 a b p ( p − c ) a + b <displaystyle l_=<<sqrt > over >=<frac <2<sqrt >>>> , где p <displaystyle p> — полупериметр. l c = a b − a l b l <displaystyle l_=<sqrt b_>>> l c = 2 a b cos ⁡ γ 2 a + b <displaystyle l_=<frac <2abcos <frac <gamma ><2>>>>> l c = h c cos ⁡ α − β 2 <displaystyle l_=<frac ><cos <frac <alpha -eta ><2>>>>>

Для трёх биссектрис углов A <displaystyle A> , B <displaystyle B> и C <displaystyle C> с длинами соответственно l a , l b , <displaystyle l_,l_,> и l c <displaystyle l_> , справедлива формула [8]

( b + c ) 2 b c l a 2 + ( c + a ) 2 c a l b 2 + ( a + b ) 2 a b l c 2 = ( a + b + c ) 2 . <displaystyle <frac <(b+c)^<2>>>l_^<2>+<frac <(c+a)^<2>>>l_^<2>+<frac <(a+b)^<2>>>l_^<2>=(a+b+c)^<2>.>, w c 2 = a w ⋅ b w − a b = C E 2 = B E ⋅ A E − a b <displaystyle w_^<2>=a_cdot b_-ab=CE^<2>=BEcdot AE-ab>,

• Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла A <displaystyle A>в отношении b + c a <displaystyle <frac >>, где a <displaystyle a>, b <displaystyle b>, c <displaystyle c>— стороны треугольника,

• a , b , c <displaystyle a,b,c>— стороны треугольника против вершин A , B , C <displaystyle A,B,C>соответственно,
• α , β , γ <displaystyle alpha ,eta ,gamma >— внутренние углы треугольника при вершинах A , B , C <displaystyle A,B,C>соответственно,
• h c <displaystyle h_>— высота треугольника, опущенная на сторону c <displaystyle c>.
• l c <displaystyle l_>— длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне c <displaystyle c>,
• a l , b l <displaystyle a_,b_>— длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса l c <displaystyle l_>делит сторону c <displaystyle c>,
• w c <displaystyle w_>— длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины C <displaystyle C>к продолжению стороны A B <displaystyle AB>.
• a w , b w <displaystyle a_,b_>— длины отрезков, на которые внешняя биссектриса w c <displaystyle w_>делит сторону c = A B <displaystyle c=AB>и её продолжение до основания самой биссектрисы.
• Если медиана m <displaystyle m>, высота h <displaystyle h>и внутренняя биссектриса t <displaystyle t>выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R <displaystyle R>, тогда [9] :p.122,#96

4 R 2 h 2 ( t 2 − h 2 ) = t 4 ( m 2 − h 2 ) . <displaystyle 4R^<2>h^<2>(t^<2>-h^<2>)=t^<4>(m^<2>-h^<2>).>

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком термине, как БИССЕКТРИСА.

Это понятие широко применяется в геометрии. И каждый школьник в России знакомится с ним уже в 5 классе. А после эта величина часто используется для решения различных задач.

Биссектриса — это.

Биссектриса – это луч, который выходит из вершины треугольника и делит ее ровно на две части.

Также под биссектрисой принято понимать и длину отрезка (что это?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на противоположной от этой вершины стороне.

Есть еще понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольника) пополам:

Само понятие БИССЕКТРИСА пришло к нам из латинского языка. И название это весьма говорящее. Оно состоит из двух слов – «bi» означает «двойное, пара», а «sectio» можно дословно перевести, как «разрезать, поделить».

Вот и получается, что само слово БИССЕКТРИСА – это «разрезание пополам», что собственно и отражается в определении термина, который мы только что привели.

А сейчас задачка на закрепление материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком изображена биссектриса. Подумали? Правильно, на втором.

На первом луч, выходящий из угла АОВ, явно не делит его пополам. На втором это соотношение углов более очевидно, а потому можно предположить, что луч ОД является БИССЕКТРИСОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов это утверждать сложно.

Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортир. Это такой инструмент в виде полусферы из металла или пластмассы. Вот как он выглядит:

Хотя есть еще вот такие варианты:

Наверняка у каждого такие были в школе. И пользоваться ими весьма просто. Надо только ровненько совместить основание транспортира (прямоугольная линейка) с основанием треугольника, а после на полусфере отметить значение, которое соответствует размеру угла.

И точно по такой же схеме можно поступить наоборот – имея транспортир, начертить угол необходимого размера. Чаще всего – от 0 до 180 градусов. Но на втором рисунке у нас транспортир, который помогает начертить градусы от 0 до 360.

Количество биссектрис в треугольнике

Но вернемся к нашей главной теме. И ответим на вопрос – сколько БИССЕКТРИС есть в треугольнике?

Ответ в общем-то логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник – три угла. А соответственно, и биссектрис в нем будет тоже три – по одной на каждую вершину.

Снова посмотрим на наши рисунки. В данном случае наглядно видно, что у треугольника АВС (именно так в геометрии обозначается эта фигура – по наименованию ее вершин) три БИССЕКТРИСЫ. Это отрезки AD, BE и CF.

На чертежах БИССЕКТРИСЫ обозначатся следующим образом. Видите одинарные выгнутые черточки между отрезками АС /AL1 и АВ/AL1? Так обозначаются углы. А то, что они оба обозначены одинаковыми черточками, говорит о том, что углы равны. А значит, отрезок AL1 является БИССЕКТРИСОЙ.

То же самое относится и к углам между АВ/DL2 и ВС/BL2. Они обозначены одинаковыми двойными черточками. А значит, отрезок BL2 – биссектриса. А углы АС/CL3 и ВС/CL3 обозначены тройными черточками. Соответственно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

Пересечение биссектрис треугольника

Как можно было заметить по приведенным выше рисункам, у биссектрис треугольника есть одно важное свойство. А именно:

Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром!

Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает никаких исключений. Другими словами, вот такого быть не может:

Если вы видите такую картину, то перед вами точно не БИССЕКТРИСЫ. Во всяком случае, минимум один отрезок таковой не является. А может и все три.

А есть еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.

Центр пересечения биссектрис в треугольнике является центром окружности, который списан в эту фигуру.

Это свойство биссектрис на самом деле не только выглядит интересно на чертежах. Оно часто помогает в решение сложных задач.

Свойство основания биссектрисы

У каждой БИССЕКТРИСЫ есть основание. Так называют точку пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.

И с этим основанием связана одна весьма интересная теорема. Она гласит, что

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точкой основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух прилежащих сторон.

Звучит несколько тяжеловато, но на деле выглядит весьма просто. Отношение отрезков на основании биссектрисы – это ВК/КС. А отношение прилежащих сторон – это АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит вот так:

Интересно, что для данной теоремы будет справедливо и другое утверждение:

Ну, как часто бывает в математике – это правило работает и в обратном направлении. То есть, если вы знаете длины все сторон и их соотношения равны, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА, А соответственно, будет проще рассчитать размер угла треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Для начала напомним, что такое равнобедренный треугольник.

Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть имеет равные «бедра»).

Так вот в таком треугольнике БИССЕКТРИСА имеет весьма интересные свойства.

Эти понятия нам также знакомы по школьному курсу. Но если кто забыл, мы обязательно напомним:

1. Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.
2. Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.

А в равностороннем треугольнике или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны) все три биссектрисы являются высотами и медианами. И плюс ко всему, их длины равны.

Вот и все, что нужно знать о таком понятии, как БИССЕКТРИСА. До новых встреч на страницах нашего блога.