Сравнение степеней с рациональным показателем

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 70. Сравнение степеней

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном п

Это свойство было доказано нами в главе I (§ 12).

Пример. Какое число больше: 2 300 или 3 200 ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

2 300 = 2 3•100 = (2 3 ) 100 =8 100 3 200 = 3 2•100 = (3 2 ) 100 = 9 100

Так как 9 > 8, то 9 100 > 8 100 . Следовательно,

Теорема 2. Если 0 m и а n больше та, показатель которой меньше.

Если а >1, то из двух степеней а m и а n больше та, показатель которой больше.

Доказательство. Пусть m > п. Тогда т = п + k, где k — некоторое натуральное число. Поэтому

Например, ( 1 /₃ ) 100 1 /₃ ) 50 ; 3 100 > 3 50

526. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми показателями и сравнить их по величине:

1) 4 2 и 2 8 ; 4) 4 300 и 3 400 ; 6) ( — 6 /₇ ) 4 и ( 36 /₄₉) 6 ;

2) 27 3 и 9 6 ; 5) — 1 /₈ и (— 1 /₃₂) 3 ; 7) ( 1 /₁₆) 100 и ( 1 /₂) 500 .

527. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравнить их по величине:

1) 8 5 и 16 3 ; 3) (—3) 75 и (—27) 15 ;

2) 4 100 и 32 50 ; 4) 81 150 • 8 200 и 3 600 • 16 75 .

Свойства степеней с рациональными показателями

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть p – произвольное положительное рациональное число. Тогда это рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

где m и n – натуральные числа. Предположим также, что a – произвольное положительное действительное число.

Читайте также: Oriel 314 не работает

Теперь мы можем дать определение степени с рациональным показателем .

Определение . Степень, показатель которой есть положительное рациональное число , определяется по формуле:

Определение . Степень, показатель которой есть отрицательное рациональное число , определяется по формуле:

Определение . Степень с нулевым показателем определяется по формуле:

Свойства степеней с рациональными показателями

Для степеней с рациональными показателями выполняются следующие свойства :

Кроме того, если p и q – произвольные рациональные числа, то

a p a q = a p + q ,
a > 0 ,

(a p ) q = a pq , a > 0 ,

(ab) p = a p b q ,
a > 0 , b > 0 ,

Замечание . Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Понятие о степени с иррациональным показателем

Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями , однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

Если основание степени меньше единицы (0

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

№1. Сравнить значения выражений:

Сравниваем показатели степеней: 1,5 <left( <frac<2><7>>
ight)^<1,9>>.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Сравниваем показатели степеней:

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

Основание a=0,21 n.

1,]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m Сравнение степеней с одинаковыми показателями .

1) Для возрастающих функций ( x>0):

0 end
ight> Rightarrow a_1^x

a_2^< — x>]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Для положительных значений аргумента

Для отрицательных значений аргумента

2) Для убывающих функций:

0 end
ight> Rightarrow a_1^x > a_2^x]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

a_2^< — x>]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Для положительных значений аргумента

Для отрицательных значений аргумента:

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

1\ x > 0 end
ight> Rightarrow > 1,]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>