Спектральный анализ в mathcad

Библиографическая ссылка на статью:
Конышев А.И. Реализация и практическое применение спектрального анализа сигналов // Исследования в области естественных наук. 2015. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2015/06/10173 (дата обращения: 07.02.2019).

Анализ зависимости напряжения или тока от времени широко используется для получения информации о качестве различных устройств. Однако просто зависимость определенных величин от времени в некоторых случаях не обладает достаточной чувствительностью к изменениям сигнала и не позволяет провести всесторонний анализ работы устройства. Более чувствительной является форма спектра сигнала, причем проводить спектральный анализ необходимо, например, при решении проблемы электромагнитной совместимости, когда требуется обеспечить работу многих радиоэлектронных средств в ограниченном диапазоне частот.

Если в спектре сигнала присутствует некоторое количество пиков и большая часть составляющих равна нулю, то становится возможно существенное сжатие информации, поскольку соответствующие пикам гармоники содержат практически всю информацию о характеристиках сигнала. Один из примеров использования сжатия динамического диапазона сигнала описан в [1]

Спектральный анализ оказывается полезным не только в радиотехнике. Использование преобразователей неэлектрических величин в электрические позволяет распространить использование анализа спектра сигнала на такие области как медицина, где выводы, сделанные в процессе обработки медицинских сигналов, помогают выявить диагностические признаки того или иного заболевания.

Как известно [2], любой периодический сигнал можно представить в виде комбинации гармонических колебаний. Совокупность амплитуд и частот гармоник, составляющих сигнал, называют спектром сигнала. Спектральный анализ основывается на преобразовании Фурье и заключается в том, что имеющийся сигнал разлагается на частотные или спектральные составляющие. В дальнейшем оцениваются спектральные характеристики сигнала – фаза, амплитуда, спектральная плотность мощности и другие.

Если характеристики сигнала в любой момент времени могут быть определены с вероятностью равной единице, то для изучения такого сигнала применяется гармонический анализ. Периодические сигналы можно разложить в ряд Фурье, а для непериодических используется интеграл Фурье. Примером описанного (детерминированного) сигнала может быть функция s(t), описывающая закон изменения напряжения между узлами цепи либо силы тока на участке цепи.

Преобразование Фурье определяется следующей функцией:

которую также называют спектральной плотностью сигнала. Сигнал в данном выражении определяется функцией f(t), а ω есть циклическая частота соответствующей составляющей сигнала.

Для периодической функции f(t) базисными функциями в преобразовании Фурье будут функции синуса и косинуса, поскольку . Тогда:

В этих выражениях циклическую частоту можно выразить через период сигнала: ω = 2π/Т.
Если сигнал является случайным, то классический гармонический анализ для него провести нельзя, поскольку спектральные плотности на любой частоте не будут иметь конечных значений [3]. Тем не менее, гармонический анализ можно обобщить, усредняя средние разложения, которые были получены из отдельных выборок.

Рассмотрим некоторый стационарный случайный процесс, заданный функцией X(t). Для этого процесса будет справедлива теорема Винера-Хинчина, устанавливающая связь между корреляционной функцией R(τ) и энергетическим спектром сигнала F(ω) с помощью преобразований Фурье [4]:

Функция F(ω) — это энергетический спектр стационарного случайного процесса, который позволяет проанализировать лишь усредненное распределение энергии сигнала по частотам, соответствующим элементарным гармоническим составляющим. При этом фазовая структура составляющих никак не учитывается и не может быть охарактеризована по функции F(ω). С физической точки зрения, величина F(ω) — это удельная мощность, которая приходится на спектральную составляющую сигнала в окрестности частоты ω. Очевидно, что физический смысл функция имеет лишь при положительных значениях частоты.

В программном пакете MathCad для практической реализации спектрального анализа используется алгоритм быстрого преобразования Фурье, который осуществляется через встроенные функции программы: fft(y) – вектор прямого преобразования Фурье, cfft(y) – вектор прямого комплексного преобразования Фурье и другие.

Осуществим прямое преобразование Фурье сигнала, заданного в виде следующей функции: Параметры будем считать заданными: амплитуда сигнала А = 3, начальная фаза ψ = π/8, период сигнала Т = 100, а k = 0,1,…1023 – отсчеты времени. На рис. 1 представлено задание функции в среде MathCad.

На рис. 2 приведены графики заданного сигнала и результат прямого преобразования Фурье.

Итак, численный анализ сигналов с помощью описанных выше формул можно проводить в программных пакетах MathCad, MathLab и других аналогичных пакетах. О практическом приложении полученных результатов сказано выше. Приведем некоторые примеры использования в радиотехнике при работе с речевыми сигналами. В [5] с помощью численного анализа спектральной характеристики сигнала в программе MathCad было определено минимальное время задержки в цифровом транспозиторе спектра сигнала, при котором сжатие фрагмента речевого сигнала происходит с минимальными искажениями. В [6] был проведен анализ математических моделей сигналов в прикладной программе MathLab, который позволил сделать выводы относительно возможностей компенсации помех акустической обратной связи в конференц-системах.

Анализ спектров отдельных звуков русского языка позволяет выявить некоторые способы распознавания слитной речи и построить алгоритмы перевода речевых сигналов в цифровые коды [7,8].

Также исследования амплитудно-частотной структуры речевого сигнала и его спектральных характеристик позволяют сформулировать частные критерии устойчивости, устанавливающие признаки начала процесса самовозбуждения электроакустических систем, ориентированных на усиление и воспроизведение речевых сигналов [9,10].

Библиографический список

Галиев А.Л., Шишкина А.Ф. Устройство ослабления акустической обратной связи с компандированием огибающей речевого сигнала // Промышленные АСУ и контроллеры. – 2011. – № 6. – С. 48-50.
В.И. Исаков. Статистическая теория радиотехнических систем. http://strts-online.narod.ru/
П.В. Короленко, М.С. Маганова. Основы статистических методов в оптике. Учебное пособие. – М.: Изд-во Университетская книга, 2010, 164 с.
В.Н. Бондарев, Г. Трестер, В.С. Чернега. Цифровая обработка сигналов: методы и средства. Учебн. пособие для вузов. 2-е изд. – X.: Изд-во Конус, 2001, 398 с.
Шишкина А.Ф. Транспозитор спектра сигнала с минимальным временем задержки // Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской научной конференции (16-18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак)/Отв. ред. К.Б. Сабитов. – Уфа: Гилем, 2004. – Т. 2. – 203 с. – С. 200-203.
Кондратьев К.В., Непомнящий О.В., Шишкина А.Ф., Сергеевич В.Н. Адаптивная компенсация помех обратного акустического тракта в процессе эксплуатации конференц-систем // Приборы и системы: управление, контроль, диагностика. – 2014. – № 3. – С. 53-59.
Шишкина А.Ф., Антипин А.Ф. Способ цифрового анализа гласных звуков русского языка // Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2013): сб. ст. III международной заочной научно-технической конференции. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2013. – 424 с. – С. 387-390.
Антипин А.Ф., Шишкина А.Ф. Об одном пути решения проблемы автоматического распознавания речи // Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2012): сб. ст. II международной заочной научно-технической конференции. Ч. 1. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2012. – 440 с. – С. 48-53.
Шишкина А.Ф., Галиев А.Л., Галиева Р.Г. Частные критерии устойчивости электроакустических систем // Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2013): сб. ст. III международной заочной научно-технической конференции. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2013. – 424 с. – С. 391-394.
Галиев А.Л., Шишкина А.Ф. Лабораторный стенд для проведения экспериментов по оценке устойчивости локальных электроакустических систем // Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2012): сб. ст. II международной заочной научно-технической конференции. Ч. 1. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2012. – 440 с. – С. 363-368.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Содержание

1 Адаптивные системы.. 6

2 Решение задачи в среде MathCAD.. 8

3 Решение задачи в MS Office Excel 15

Список использованных источников. 20

Приложение А (обязательное) Разработка комплексного документа средствами интегрированного покета MS Office. 21

Введение

При выполнении данного курсового проекта будет произведен спектральный анализ и восстановление периодического сигнала при помощи программных сред MathCAD и MS Excel, разработан комплексный документ средствами интегрированного пакета Microsoft Office.

Адаптивные системы

Системы, автоматически изменяющие значение своих параметров или структуру при непредвиденных изменениях внешних условий на основании анализа состояния или поведения системы так, чтобы сохранялось заданное качество ее работы, называют адаптивными системами. Адаптивные системы с изменением значений параметров иногда называют самонастраивающимися, а системы с изменением структуры – самоорганизующимися.

Обычно адаптивная система содержит в качестве «ядра» схему, реализующую один из фундаментальных принципов управления, а контур адаптации пристраивают к ней как вторичный, осуществляющий коррекцию параметров. Контур адаптации, обычно состоящий из устройства измерения (ИУ), вычисления (ВУ) и управления (УУ), может быть разомкнут (рисунок 1), если на его вход подается только входное воздействие, или замкнут (связь показана пунктиром), если он реагирует также и на выходную координату системы. Основной контур составляет объект О и регулятор Р.

Рисунок 1 – Адаптивная САУ

Контур самонастройки воздействует на блок настройки параметров БНП, который может быть включен не только последовательно, как показано на рисунке, но и любым другим способом, например, в цепь обратной связи. Вычисление воздействий для коррекции параметров осуществляет ВУ в соответствии с программой.

Классификация САУ по другим признакам имеет более общий характер и слабо связана с фундаментальными принципами управления.

В зависимости от принадлежности источника энергии, при помощи которого создается управляющее воздействие, САУ могут быть прямого и непрямого действия. В системах прямого действия используется энергия управляемого объекта. В системах непрямого действия управляющее воздействие создается за счет энергии дополнительного источника.

По виду сигналов, действующих в системах, последние разделяют на непрерывные и дискретные. Дискретные системы, в свою очередь, разделяются на импульсные, релейные и цифровые.

САУ, у которых управляемая величина в установившемся режиме зависит от величины возмущающего воздействия, называются статическими, а САУ, у которых управляемая величина не зависит от возмущения, называются астатическими.

Решение задачи в среде MathCAD

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 2. Параметры импульсной последовательности: амплитуда импульса U_m = 10 В; длительность импульса τ_u = 0,1 мс; период повторения импульсов T_n = 1 мс.

Рисунок 2 – Временная диаграмма сигнала

Во временной области математическая модель сигнала имеет вид:

(1)

Чтобы графически представить амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала, необходимо вычислить амплитуды гармоник (колебаний синусоидальной формы), определяющих форму сигнала u(t). Амплитуды гармоник U_k (где k – номера гармоник, k = 1,2, …, n), находят по формуле

, (2)

где коэффициенты ряда Фурье a_k и b_k определяют из выражений

, (3)

. (4)

Постоянную составляющую (среднее значение напряжения за период) находят из выражения

. (5)

Поскольку заданный сигнал u(t) существует только на временном интервале t ϵ [0, τ_u], то в приведенных формулах (3), (4) и (5) нижний и верхний пределы интегрирования принимаем равными значениями переменной t в начале и в конце указанного интервала. Частота первой гармоники ω₁ определяется из выражения

. (6)

Для построения фазочастотного спектра начальные фазы k-x гармоник определяют по формуле

, (7)

если коэффициенты b_k > 0, в противном случае используют формулу

. (8)

Числовые значения коэффициентов a_k и b_k в формулы (7) и (8) подставляют с учетом их знаков.

Формулы (7) и (8) используют для расчета начальных фаз гармоник, если при восстановлении исходного сигнала по известному спектру применяют синусную форму записи ряда Фурье для бесконечной во времени периодической функции, то есть выражение

. (9)

Если же ряд Фурье записывают в косинусной форме

, (10)

то начальные фазы гармоник находят по формулам

, (11)

. (12)

Для построения временной диаграммы сигнала в системе MathCAD используют программу вычислений в цикле. Фрагменты программ построения диаграммы исходного сигнала, его амплитудно-частотного и фазочастотного спектров в системе MathCAD показаны на рисунках 3, 4 и 5 соответственно.

Рисунок 3 – Построение временной диаграммы сигнала

Рисунок 4 – Построение амплитудно-частотного спектра

Рисунок 5 – Построение фазочастотного спектра

Фрагмент программы восстановления исходного сигнала в системе MathCAD показан на рисунке 6.

Рисунок 6 – Восстановление сигнала во временной области по заданному спектру

Как видно из рисунка 6, при использовании числа членов ряда Фурье (числа гармоник) N = 100 временная диаграмма восстановленного сигнала отличается от временной диаграммы исходного сигнала незначительно. Для полного воспроизведения формы сигнала число гармоник должно стремиться к бесконечности, что возможно только теоретически.

На рисунке 7 в виде таблицы представлены результаты вычисления постоянной составляющей и амплитуд первых десяти гармоник U_k спектра исследуемого сигнала. Данные приведены для проведения сравнительного анализа результатов решения задачи в среде MathCAD и Excel.

Рисунок 7 – Результаты расчета в MathCAD

Дата добавления: 2016-09-06 ; просмотров: 2093 | Нарушение авторских прав

14.1.5. Пример: спектр модели сигнал/шум

Пока мы использовали в качестве примера детерминированный сигнал, представляющий собой сумму трех синусоид. Несмотря на единство термина "дискретное преобразование Фурье", прикладное применение спектрального анализа можно довольно четко разделить на две категории.

Сигнал, подвергающийся спектральному анализу, получен в условиях пренебрежимо малой погрешности, т. е. его можно, фактически, считать детерминированным. Такая ситуация характерна для экспериментальной оптики и (разного рода) спектроскопии. В этом случае для большинства задач анализа сигналов бывает вполне достаточно использовать простые спектры Фурье, рассмотренные выше (см. разд. 14.1.1—14.1.3).
Сигнал, полученный в присутствии значительной шумовой компоненты, которая существенно искажает его структуру. В этом случае следует говорить о смеси (к счастью, чаще всего аддитивной) "полезный сигнал + шум", причем в большинстве случаев заранее известна некоторая информация о статистике шумовой компоненты. Данная ситуация очень часто встречается в экспериментальной геофизике и радиофизике. В этом случае подходить к интерпретации спектров следует с вероятностной точки зрения. Как раз этому вопросу мы и посвятим данный пример.

Внесем минимальное добавление в расчеты листинга 14.1, а именно добавим к его четвертой строке (в которой определяется y_i ) еще одно (четвертое) слагаемое: псевдослучайную величину σ rnd(1) , где значение 1/ σ характеризует отношение сигнал/шум. Явный вид изменений, которые следует внести в листинг 14.1, приведен на рис. 14.10, наряду с графиком сигнала у(х) . Расчет Фурье-спектра данного сигнала (в соответствии с алгоритмом, представленным выше, см. листинг 14.1) показан на рис. 14.11. Как видно, присутствие шумовой компоненты может значительно искажать спектр сигнала и затруднять его интерпретацию.

Максимальное значение спектра на левом крае частотного интервала является ни чем иным, как проявлением искажающего влияния конечности выборки и сдвига ноль-линии (см. разд. 14.1.3), произошедшим из-за внесения шума с математическим ожиданием, равным 0.5.

Рис. 14.10. Модель сигнал / шум

Рис. 14.11. График Фурье-спектра данных

В силу стохастичности исходных данных, представляющих сумму полезного сигнала и шума, сами вычисленные значения спектра Фурье носят также случайный характер. В этой связи необходимо знать, с какой погрешностью они рассчитываются. Однако из курса математической статистики известно, что для обычного Фурье-преобразования случайного сигнала (в частности, нормального) не найдено оценок для погрешности. Это слабое место Фурье-спектров делает их практически неприменимыми для анализа случайных сигналов, а вместо них надо применять так называемые спектры мощности (или, по-другому, энергетические спектры), для которых указанные оценки существуют.

Не углубляясь в теорию математической статистики, приведем пример вычисления спектра мощности сигнала (рис. 14.10), основанный его определении. Как известно, спектром мощности сигнала называют Фурье-преобразование его корреляционной функции. Таким образом, алгоритм расчета спектра мощности сводится к следующему: во-первых, вычислению автокорреляционной функции (рис. 14.12); во-вторых, ее прореживанию и (или) сглаживанию (в целях уменьшения влияния конечности выборки); и, наконец, в-третьих, расчету ее Фурье-преобразования. Результат вычисления спектра мощности (листинг 14.3) в соответствии с приведенным сценарием показан на рис. 14.13.

Аналогичным образом, через Фурье-преобразование взаимной корреляционной функции, определяются взаимные спектры мощности двух выборок.

Еще один способ вычисления спектров мощности, не требующий расчета функции корреляции, приведен ниже (см. разд. 14.3.6).

Методика расчета в Mathcad корреляционной функции случайного процесса обсуждалась в главе 12 (см. разд. 12.3.3).

Листинг 14.3. Расчет спектра мощности для модели сигнал / шум

Рис. 14.12. Автокорреляционная функция модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)

Рис. 14.13. График спектра мощности данных модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)