Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала

Баканина Л.П. Задачи о воздушных шарах // Квант. — 1975. — № 1. — С. 60-63.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В наш век самолетов и ракет, для которых доступны любые высоты над поверхностью Земли, воздушные шары, громоздкие, ненадежные и неуправляемые, уже отошли в прошлое, хотя когда-то именно они дали человеку возможность подняться в воздух. Впрочем, в некоторых случаях воздушные шары очень удобны, они используются и сейчас. Например, с аэростата удобно обучать прыжкам с. парашютом, а метеорологи исследуют давление, температуру и воздушные потоки в атмосфере с помощью шаров-зондов.

Задачи о воздушных шарах даются иногда на вступительных экзаменах. Обычно их можно разделить на два типа:

1) задачи, в которых нужно найти связь между габаритами и наполнением шара и подъемной силой, действующей на шар у поверхности Земли;

2) задачи, в которых нужно определить максимальную высоту подъема шара; при этом задается какая-нибудь модель атмосферы, то есть закон изменения давления и температуры с высотой.

По существу, задачи обоих типов – это задачи на статику. Для их решения нужно уметь применять уравнение состояния газов и найти условие равновесия шара, на который действует сила притяжения Земли и выталкивающая сила со стороны окружающего шар воздуха. Если выталкивающая сила больше силы притяжения (разность этих сил называют подъемной силой), шар поднимается вверх. Но по мере подъема уменьшается плотность окружающего воздуха, а, следовательно, уменьшается и выталкивающая сила, по закону Архимеда равная

где ρ — плотность воздуха, а V — объем шара. На некоторой высоте выталкивающая сила окажется равной силе притяжения – это и будет максимальной высотой подъема шара.

Разберем теперь несколько конкретных задач, которые в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, квадратный метр которого имеет массу b = 1 кг/м 2 . Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимает сам себя? Температура гелия и температура окружающего воздуха одинаковы и равны 0 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль, молекулярная масса гелия 4 кг/кмоль.

При увеличении радиуса шара выталкивающая сила растет пропорционально кубу радиуса, а вес оболочки – пропорционально квадрату радиуса. Следовательно, выталкивающая сила растет быстрее и, начиная с какого-то значения радиуса, станет больше, чем вес оболочки. Тогда шар начнет подниматься. Обозначим этот радиус оболочки через r. При этом

Плотности воздуха ρ_в и гелия ρ_Не при данных условиях найдем с помощью закона Менделеева–Клапейрона :

Задача 2. Объем воздушного шара равен V = 230 м 3 , масса оболочки М = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура наружного воздуха t = 0 о С.

При нагревании воздуха его плотность уменьшается, так как (см. задачу 1). Шар начнет подниматься, если (ρ – плотность наружного воздуха). Подставляя выражения для плотности наружного воздуха и воздуха внутри шара ρ, получаем

Задача 3. Для удержания на поверхности Земли метеорологического шара-зонда с массой М = 20 кг необходимо приложить силу F = 1000 Н. Шар поднимается до такой высоты, где его объем увеличивается в два раза. Температура воздуха, измеренная на этой высоте с помощью зонда, оказалась равной t = –43 ºС. Вычислить давление воздуха на этой высоте, если на поверхности Земли давление р = 754 мм рт. ст., а температура t= +17 °С.

Условие равновесия шара у поверхности Земли записывается так:

(1)

где V — объем шара у поверхности Земли, а — плотность воздуха. При этом масса шара М включает в себя массу оболочки, приборов и газа, заключенного внутри оболочки. Из условия известно, что объем шара при подъеме увеличивается. Следовательно, оболочка шара мягкая и герметичная. Объем увеличивается потому, что при мягкой оболочке давление газа внутри должно быть таким же, как давление окружающего воздуха, которое уменьшается с высотой. Если оболочка герметичная, масса шара не изменяется при подъеме и максимальная высота его подъема определяется условием

(2)

где . Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

Задача 4. Шар-зонд, наполненный водородом, имеет герметичную оболочку постоянного объема V = 50 м 3 . Масса шара вместе с водородом М = 5 кг. Определить, на какую максимальную высоту он сможет подняться, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура в стратосфере t = –60 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль. Давление у поверхности Земли р = 1 атм.

На максимальной высоте выталкивающая сила равна весу шара- зонда:

Выразив плотность окружающего воздуха через давление и температуру, получим

Таким образом, давление воздуха на этой высоте равно

Посмотрим теперь, во сколько раз давление р меньше давления у поверхности Земли р: .

Из условия известно, что давление падает в два раза через каждые 5 км подъема, то есть , где Н — высота подъема, a h = 5 км. В нашем случае

Задача 5. Нерастяжимая оболочка шара-зонда объема V = 75 м 3 имеет в нижней части небольшое отверстие. Масса оболочки t = 7 кг. Шар наполнен водородом. Определить, на какую максимальную высоту сможет подняться этот шар-зонд, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура воздуха в стратосфере t = –60 °С, температура водорода равна температуре окружающего воздуха. Давление у поверхности Земли р = 1 атм.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что оболочка шара не герметична, а имеет отверстие. Следовательно, давление внутри шара все время равно давлению в атмосфере, и по мере увеличения высоты подъема шара водород вытекает из отверстия. Будем, считать, что подъем происходит достаточно быстро и можно пренебречь диффузией воздуха внутрь оболочки, тогда условие равновесия шара на максимальной высоте

Плотности водорода и воздуха можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Таким образом, давление на максимальной высоте

Отношение , и, следовательно, высота подъема Н = 20 км (см. решение предыдущей задачи).

Высота подъема в задаче 5 получилась такая же, как для герметичного шара в задаче 4, но не следует забывать, что мы рассматривали разные шары, с разными объемами и массами. А если оба шара совершенно одинаковы и отличаются только тем, что у одного оболочка герметичная, а у другого имеет отверстие, — какой из шаров поднимется выше в этом случае?

Выталкивающая сила будет одинакова для обоих шаров, так как их объемы равны. Если начальные массы шаров были одинаковы, то после подъема шар с отверстием окажется легче, так как часть наполняющего его газа вытечет при подъёме. Следовательно, шар с отверстием сможет подняться на большую высоту.

Обычно человеку, впервые задумавшемуся над этим вопросом, такой результат кажется странным. Часто задают вопрос: «Как вообще в шаре с отверстием возникает подъемная сила? Ведь снизу, там, где отверстие, воздух и газ внутри шара находятся в равновесии».

Давайте рассмотрим верхнюю точку шара. Если в нижней точке шара давление воздуха и газа равно р, в верхней точке давление воздуха , а давление газа (h — высота шара). Если , то и, следовательно, на оболочку снизу действует большая сила, чем сверху — возникает подъемная сила. Легко убедиться (вы сможете это сделать сами для тела достаточно простой формы), что именно эта разница давлений и дает результирующую выталкивающую силу, определяемую законом Архимеда. Недоумение часто возникает потому, что при расчетах плотности газа внутри шара обычно считают давление в шаре всюду одинаковым. Не нужно забывать, что это всего лишь приближение. Если мы определяем саму величину

то, так как h мало — всего несколько метров, , и мы можем считать . Если же нас интересует разность

то здесь оба члена одинаковы по порядку величины, и учитывать их надо оба. Кстати сказать, то, что мы считаем ρ_в и ρ_г постоянными, — тоже приближение, на самом деле они уменьшаются с высотой по мере уменьшения давления. Но учет этого обстоятельства дал бы значительно меньшую поправку к выталкивающей силе, этой поправкой можно пренебречь.

1. Определить подъемную силу воздушного шара, в котором находится t г водорода. Оболочка шара герметичная и сделана из легкого неупругого материала, который может свободно растягиваться.

2. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри сообщающегося с атмосферой воздушного шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр 10 м и весит 10 кг, для того чтобы шар взлетел? Атмосферное давление 735 мм. рт. ст., температура окружающего воздуха +27 °С.

3. Воздушный шар представляет собой баллон постоянного объема, наполненный гелием. Через отверстие в нижней части шар сообщается с атмосферой. Как изменится максимальная высота подъема шара, если гелий нагреть до температуры t₁? Температуру атмосферы считать постоянной и равной t, а давление изменяющимся по закону , где а — постоянная, h — высота подъема, р — давление у поверхности Земли.

2. Не менее чем на 5º.

3. .

С1-1. Герметично закрытый сосуд с жесткими стенками разделен на две равные части пористой перегородкой. Сквозь перегородку могут проходить молекулы водорода, а молекулы азота проходить не могут. В начале опыта в левой части сосуда находился водород, а в правой — азот (см. рисунок); температура и давление этих газов были одинаковы. Опираясь на свои знания по молекулярной физике, объясните, как с течением времени будет изменяться давление в левой и правой частях сосуда. Считайте, что газы идеальные, температура не меняется.

С1-2. На диаграмме (см. рисунок) показан процесс изменения состояния фиксированного количества вещества идеального одноатомного газа. Опираясь на свои знания по молекулярной физике, объясните, как меняется объем газа по мере его перехода из состояния 1 в состояние 2.

С1-3. На диаграмме (см. рисунок) показан процесс изменения состояния некоторого фиксированного количества идеального одноатомного газа. Опираясь на свои знания по молекулярной физике, объясните, как меняется температура газа по мере его перехода из состояния 1 в состояние 2.

С3-4. При температуре 10 °С и давлении 10 5 Па плотность газа равна 2,5 кг/м 3 . Какова молярная масса газа? Ответ выразите в г/моль и округлите до целых.

С3-5. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием при атмосферном давлении 10 5 Па. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнёт поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0 °С. (Площадь сферы S = 4πr 2 , объём шара V=4/3πr 3 .)

С3-6. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 2 кг. Шар наполняют гелием при атмосферном давлении 10 5 Па. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0 °С. (Площадь сферы S = 4π r 2 , объем шара V = 4/3π r 3 .)

С3-7. Сферическую оболочку воздушного шара наполняют гелием при атмосферном давлении 10 5 Па. Минимальная масса оболочки, при которой шар начинает поднимать сам себя, равна m = 500 кг. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0°С. Чему равна масса одного квадратного метра материала оболочки шара? (Площадь сферы S = 4π r 2 , объем шара V = 4/3π r 3 .)

С3-8. Воздушный шар объемом 2500 м 3 и массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы он взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой 200 кг? Температура окружающего воздуха 7 °С, его плотность — 1,2 кг/м 3 . Оболочку шара считать нерастяжимой.

С3-9. Воздушный шар, оболочка которого имеет массу М = 145 кг и объем V = 230 м 3 , наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окружающего воздуха t = 0°С. Какую минимальную температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.

С3-10. Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и наполнен гелием. Какова масса гелия в шаре, если на высоте, где температура воздуха 17 °С, а давление 10 5 Па, шар может удерживать в воздухе груз массой 225 кг? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара.

С3-11. Газонепроницаемая оболочка воздушного шара имеет массу 400 кг. Шар заполнен гелием. Он может удерживать груз массой 225 кг в воздухе на высоте, где температура воздуха 17 С, а давление 10 5 Па. Какова масса гелия в оболочке шара? Оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара, объем груза пренебрежимо мал по сравнению с объемом шара.

С3-12. Воздушный шар объемом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Какова максимальная масса груза, который может поднять шар, если воздух в нем нагреть до температуры 77 С? Температура окружающего воздуха 7 С, его плотность 1,2 кг/м 3 . Оболочку шара считать нерастяжимой.

С3-13. Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и содержит 100 кг гелия. Какой груз он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17 °С, а давление 10 5 Па? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара.

С3-14. В горизонтальной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути длиной 15 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферного воздуха. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и нагрели на 60 К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферного воздуха в лаборатории — 750 мм рт. ст. Какова температура воздуха в лаборатории?

С3-15. В цилиндр объемом 0,5 м 3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня длиной 0,5 м подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 · 10 -4 м 2 . Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите расстояние АВ, если стержень можно считать невесомым.

С3-16. В цилиндр объёмом 0,5 м 3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 · 10 -4 м 2 , расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его считать невесомым.

Постройка монгольфьера. 10-й класс

– Прекрасно! – сказал Смит. – А каким способом вы предлагаете бежать?

– Да вот воздушный шарик тут без толку болтается, будто нарочно, бездельник, нас поджидает!

Ж.Верн. Таинственный остров

Предлагаемый урок имеет своей основной целью развитие технического творчества учащихся на базе теоретических знаний, полученных при изучении школьного курса. Конструирование действующей модели, сопровождаемое математическим расчётом её параметров, всегда вызывает интерес у школьников. Нужно только побеспокоиться о том, чтобы проект был технически реализуем. С учётом сказанного работа может проводиться по плану типа приведённого в [1].

1. Задание на конструирование (20 мин)

Учитель. Полёт воздушного шара или дирижабля в воздухе напоминает плавание подводной лодки. Если масса всего летательного аппарата, сложенная с массой газа, заполняющего оболочку, меньше массы воздуха в объёме, вытесняемом аппаратом, то шар поднимается вверх; если эти массы равны, шар неподвижно висит в воздухе; если масса аппарата с газом больше массы вытесняемого воздуха, шар опускается. Таким образом, чтобы полёт был возможен, масса самого летательного аппарата без газа должна быть меньше или в крайнем случае равна разности масс лёгкого газа, заполняющего оболочку, и воздуха в том же объёме.

Первые воздушные шары, «монгольфьеры», изобретённые в 1783 г. во Франции братьями Монгольфье, наполнялись горячим воздухом. Газы расширяются при нагревании, поэтому масса нагретого воздуха в шаре меньше массы вытесненного холодного воздуха. Но уменьшение плотности невелико: при нагревании от 0 до 100 °С – всего на 27%. Таким образом, на вес оболочки, корзины, экипажа и полезного груза приходится в монгольфьере всего 27% веса воздуха, вытесняемого оболочкой. Поэтому даже очень большие шары-монгольфьеры имели малую выталкивающую силу [2].

а) Решение количественных задач (вместе с учителем).

1 [3, № 506*]. Шар объёмом V = 0,1 м 3 , сделанный из тонкой бумаги, наполняют горячим воздухом, имеющим температуру T₂ = 340 К. Температура окружающего воздуха T₁ = 290 К. Давление воздуха p внутри шара и атмосферное давление одинаковы и равны 100 кПа. При какой массе m бумажной оболочки шар будет подниматься?

Решение. Согласно сказанному, непременное условие полёта шара m + m₂ m₁, где m₁ – масса окружающего воздуха в объёме шара, m₂ – масса горячего воздуха, заполняющего шар.

Отсюда m m₁ – m₂.

Считая воздух идеальным газом, запишем:

где М = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха, R = 8,31 Дж/(моль • К) – универсальная газовая постоянная. Тогда

Таким образом, m 0,0177 кг, или m 17,7 г.

2 [4, № 2.130]. Объём воздушного шара V = 224 м 3 , масса оболочки m = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура воздуха вне оболочки 0 °С.

Решение. Согласно решению предыдущей задачи,

T₂ = 553 К, или t° = 553 К – 273 К = 280 °С.

3 [4, № 2.134]. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, поверхностная плотность которого (масса единицы площади) = 1 кг/м 2 . Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимет сам себя? Температуры гелия и окружающего воздуха одинаковы и равны 0 °С.

Решение. Согласно решению задачи 1,

где M₁ – молярная масса воздуха, а M₂ – гелия.

Так как а m = 4r 2 , то можно записать: Отсюда

В случае монгольфьера конечная формула выглядит иначе:

Полезно также отметить, что

Из последних трёх формул легко видеть, что при постройке действующей модели монгольфьера какие-либо два параметра из набора (, r, T₂) являются исходными, а третий определяется через них в процессе решения технической задачи, конкретной или обобщённой. Последнее, по-видимому, более целесообразно, т.к. предоставляет учащимся достаточно широкие возможности для самостоятельной творческой деятельности.

б) Постановка обобщённой технической задачи: исследовать лётные характеристики монгольфьера в зависимости от исходных параметров. Провести оптимизацию системы.

2. Разработка эскизного проекта (краткое описание конструкции, изображение наиболее важных узлов и деталей, проведение необходимого минимума математических расчётов). Обсуждение проекта (20 мин)

Прежде всего необходимо сделать выкройку полосы шара [5]: рассчитать шаблон дольки. Определим длину окружности большого круга шара C = 3,14D (D – диаметр шара) и длину шаблона L = 0,5C. Отложим в масштабе длину шаблона на листе, разделим её на число полос шара (например, на 12), проведём соответственно 12 перпендикуляров. Из центра радиусом r = проведём дугу в четверть длины окружности и разделим её с помощью транспортира на 6 равных частей (по 15°). Из полученных на дуге точек 1. 6 проведём линии, параллельные оси. Соединим точки пересечения этих линий с перпендикулярами – получилась нижняя половина шаблона. Правый конец выкройки немного расширим – здесь будет отверстие. Аналогично строим верхнюю половину.

Теперь чертим шаблон в натуральную величину, для чего все расстояния измеряем и в масштабе переносим на выкройку. После этого переходим к постройке шара, определив предварительно количество полос по предлагаемой ниже таблице.

3

3. Изготовление конструкции (долгосрочное, не менее чем на 2 недели, домашнее задание)

Пример. Склеим маленький шар диаметром 1,5 м из двенадцати долек [5]. Для этого делаем шаблон: из плотной (чертёжной) бумаги вырезаем полосу длиной 2400 мм и шириной 400 мм, посередине проводим осевую линию (и т.д., см. выше. – Ред.). Полученные точки соединяем между собой с помощью большого лекала. Работая вдвоём, можно вместо лекала использовать тонкую рейку, изгибая её по шаблону. Вырезаем шаблон по полученному контуру.

Заготовки долек обычно приходится склеивать из отдельных листов бумаги. Если есть бумага разных цветов, то шар можно сделать полосатым или клетчатым. Делаем сначала 12 полос-заготовок: листы бумаги в каждой полосе укладываем «лесенкой», промазываем клеем ПВА все «ступеньки», накладываем намазанные края двух соседних листов и проглаживаем рукой место склейки. Дав подсохнуть клею, накладываем полосы одну на другую так, чтобы места склейки листов бумаги всех полос совпадали друг с другом, сверху накладываем шаблон, крепим всю стопку кнопками по осевой линии к столу или к ровной доске и аккуратно обрезаем ножницами точно по шаблону с одной и с другой стороны.

Чтобы при вырезании листы не расползлись, а заготовки получились одной формы, края стопки сжимаем левой рукой. Лучше вырезать по четыре-шесть полос за один приём. Склеивать полосы можно двумя способами. Первый способ: у всех полос с одной стороны отгибаем кромку шириной не более 10 мм, и неотогнутый край одной прикладываем к отогнутому краю другой. Один ученик мажет клеем неотогнутый край, а другой пригибает к нему отогнутый. Второй способ: намазав край (не шире 10 мм) одной полосы, накладываем на неё край другой. Сначала склеиваем полосы по две, потом по четыре. Если шар склеиваем вторым способом, то, прежде чем сделать последний шов, выворачиваем оболочку, чтобы все швы оказались внутри. Отверстие в верхней части шара заклеиваем бумажным кружком диаметром 100–150 мм.

В нижней части шара образуется отверстие (горловина). В него вклеиваем кольцо из чертёжной бумаги, изготовленное из двух полосок шириной 80–100 мм и длиной 800 мм. Сначала приклеиваем одну полоску на бортик горловины шара изнутри, а затем вторую полоску – снаружи.

Склеенный шар подвешиваем к потолку и просушиваем. Затем через горловину заполняем шар нагретым с помощью электрического фена воздухом (так же наполняем шар и перед запуском). При этом обнаружатся дефекты оболочки – мелкие отверстия, морщины. Отверстия сразу же заклеиваем кусочками бумаги, а морщины разглаживаем.

Можно в горловину шара продеть шпагат и затянуть его после того, как шар наполнят горячим воздухом, чтобы воздух остывал медленнее.

Замечание. Копия этой инструкции (здесь она немного сокращена. – Ред.) ксерокопируется и раздаётся школьникам. Полезно также иметь в кабинете физики стенд с тезисным изложением всей приведённой выше информации. По окончании работы стенд убирают.

4. Испытание конструкции и исследование её параметров (отчёт о выполнении ДЗ)

Шар лучше всего запускать в тихую погоду, т.к. сильный ветер может накренить его и часть нагретого воздуха выйдет раньше времени. Кроме того, сильный ветер может порвать оболочку шара. По этим причинам полётные испытания лучше всего проводить в закрытых помещениях (например, в школьных спортзалах).

Оптимизация конструкции заключается, как правило, в поиске наилучшего соотношения между размерами шара и достижимой в данных конкретных условиях разностью температур с целью получения максимальной грузоподъёмности. По-видимому, возможна оптимизация по стоимости материалов, наилучшей скороподъёмности и т.д. [6, 7]. Математическая дисциплина, изучающая эти вопросы, называется линейным программированием, и ей скорее всего также следует уделить внимание, поскольку совпадение теоретически предсказанных параметров и результатов эксперимента в пределах допустимых погрешностей приносит огромное удовлетворение учащимся.

1. Методика факультативных занятий по физике: Под ред. О.Ф.Кабарина, В.А.Орлова. – М.: Просвещение, 1988.

2. Элементарный учебник физики. Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. – М.: Шрайк–В.роджер, 1995.

3. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 2002.

4. Баканина Л.П. и др. Сборник задач по физике: Под ред. Козела С.М. – М.: Наука, гл. ред. ФМЛ, 1990.

5. Ермаков А.М. Простейшие авиамодели. – М.: Просвещение, 1989.

6. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, гл. ред. ФМЛ, 1990.

7. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии: Учебник для 10–11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

Диаметр шара D, м

Количество полос, шт.