Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции 
.
Здесь z = 2; функция теряет аналитичность в точках
z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. | z – 2| 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. 
— таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. 
, где | z – 2| 4. 
. Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции 
.
1. В первом кольце 0 4 получаем 
,
,
,
.
Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням z – z:
Сделаем замену в (2.103), получим:
Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
Страницы работы
Содержание работы
Тема 6-1. Ряды Тейлора и Лорана
Лекция 7
Введение
Пусть дана функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности точки а.
Тогда в круге сходимости эта функция может быть представлена рядом Тейлора:
f(z)=
а само равенство называют разложением функции в ряд Тейлора.
Замечание: многоточие, которым заканчивается правая часть функции f(z), символизирует тот факт, что точное равенство достигается за счет бесконечного множества слагаемых. Поэтому последнего слагаемого нет.
Находим производные функции f(z) = z 5 : 
.
Определим значения производных в точке a = i: 
.
Отсюда 
— многочлен 5-ой степени.
Формула Тейлора
Если функция f(z) имеет в точке а производные до порядка n включительно, то ее можно представить формулой Тейлора порядка n:
f(z) =
; 
.
Положив а = 0, можно разложить функцию f(z) в ряд Маклорена: f(z)=
Показательная и тригонометрическая функция комплексного переменного
Разложим e z и e iz в ряд Маклорена:
для e z для e iz
Применив разложение в ряд к функциям sinz и cosz, получим:
f (n) (z)=e z f (n) (0) =1
f (n) (z)=i n e zi f (n) (0) =1
Произведя замену z на iz для функции e z и разделив e iz на Ree iz и Ime iz части, легко увидеть, что e zi есть сумма cosz и i× sinz.
Cоотношения между функциями, выражаемые как:
; 
;
называются формулами Эйлера.
Области сходимости рядов
Рассмотрим два ряда:
1. 
, область сходимости которого определяется неравенством r 
.
2 – ой ряд 
По формуле Даламбера радиус сходимости R = 
и ряд сходится , если |
| 2 -(1/3!)×cosp/4×(x-p/4) 3 +…=
=
[1+(1/1!)×(x-p/4)-(1/2!)×(x-p/4) 2 -(1/3!)×(x-p/4) 3 +…].
2. Найти область сходимости ряда 
Решение: R=
.
Областью сходимости ряда является круг |z – i| 5, и 
= 1 Þ|z| n ® 0)
Тогда в окрестности точки z =0 выполняется неравенство |q|= 
2 + 32/t +24 +8t +t 2 = 
Главная часть содержит два члена, а правильная – три.
Так как разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой точки плоскости, кроме z =2.
Точка z =2 является полюсом второго порядка.
Вычетом этой функции относительно полюса z =2 является коэффициент А-1 при (z – 2) -1 , т.е. 32.