Этот алгоритм использует соотношения для НОД:
НОД(2*a, 2*b) = 2*НОД(a,b)
НОД(2*a, b) = НОД(a,b) при нечетном b,
Он иллюстрируется следующей программой:
Алгоритм решения уравнения ax+by = 1.
1.Определим матрицу E:
| E = |
2. Вычислим r — остаток от деления числа a на b, a=bq+r, 0 E *
5. Заменим пару чисел (a,b) на (b,r) и перейдем к шагу 2.
Расширенный алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида можно расширить так, что он не только даст НОД(a,b)=d, но и найдет целые числа x и y, такие что ax + by = d.
Псевдокод.
Исходник на Си.
Алгоритм работает за O(log 2 n) операций.
Нахождение обратного элемента по модулю
Для начала заметим, что элемент a кольца Zn обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.
Главная > Элективный курс
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (повторение).
Существует довольно простой прием, позволяющий находить наибольший делитель двух натуральных чисел. Этот прием называется алгоритмом Евклида. Вы с ним познакомились еще при изучении курса математики в 5 – 6 классах. Евклид, великий ученый, живший около 2000 лет назад, занимался не только геометрией, которая носит его имя. Ему принадлежит решение ряда важных задач арифметики и, в частности, тот способ нахождения наибольшего общего делителя, который мы сегодня будем использовать при изучении нового материала. А сейчас повторим суть алгоритма Евклида .
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел:
1) надо большее из двух чисел разделить на меньшее;
2) потом меньшее из чисел на остаток при первом делении;
3) затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД двух данных чисел
Рассмотрим пример. Найти НОД (645; 381).
Разделим с остатком 645 на 381. Мы получим: 645=381·1+264.
Далее разделим с остатком 381 на 264, получим: 381=264·1+117.
Теперь разделим с остатком 264 на 117, получим: 264=117·2+30.
Продолжим процесс деления, разделим с остатком 117 на 30, получим: 117=30·3+27. Далее, 30=27·1+3. Следующий шаг – делим 27 на 3, получаем, что 27=3·9 +0, т. е. 27 делится на 3 без остатка. Значит, наибольший общий делитель чисел 27 и 3 равен 3, следовательно, и наибольший общий делитель чисел 645 и 381 равен 3, т. е. последнему отличному от нуля остатку.
Таким образом, НОД (645; 381) = 3.
Прием разыскания наибольшего общего делителя, примененный в этом примере, и представляет собой алгоритм Евклида.
2. Вывод формул для решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Прежде чем рассмотреть решение линейного уравнения с двумя неизвестными:
с использованием алгоритма Евклида, докажем утверждение о том, что наибольший общий делитель двух чисел есть последний отличный от нуля остаток в цепочке указанных в примере действий .
Чтобы доказать утверждение о наибольшем общем делителе, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a > b , то
·b = r 1 q 1 + r 2
r 1 = r 2 q 2 + r 3 (2)
r n – 1 = r n q n
Здесь r 1 , . . . , r n — положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Отсутствие остатка в последнем равенстве следует из того, что натуральные числа r n не могут убывать бесконечно, поэтому на некотором шаге остаток станет нулевым.
Обратимся к системе (2). Из первого равенства, выразив остаток r 1 через a и b , получим r 1 = a – b · q 0 . Подставляя его во второе равенство, найдём r 2 = b (1 + q 0 q 1 ) – a · q 1 . Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через a и b , в том числе и последний: r n = Aa + Bb . В результате нами доказано
что найдутся такие целые числа A и B , что d = Aa + Bb . Заметим, что коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД ( a , b ) = 1 , то Aa + Bb = 1 . Как найти числа A и B , видно из алгоритма Евклида.
Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными:
Возможны два случая: либо число c делится на d = НОД( a , b ) , либо нет.
В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a 1 x + b 1 y = c 1 , коэффициенты которого
a 1 = a / d и b 1 = b / d взаимно просты.
Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c , которое на d не делится.
Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (1) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа х 0 и у 0 , что ax 0 + by 0 = 1 , откуда пара (сх 0 , су 0 ) удовлетворяет уравнению (1). Вместе с ней уравнению (1) удовлетворяет бесконечное множество пар ( x , у) целых чисел, которые можно найти по формулам
x = cx 0 + bt, y = cy 0 – at. (3)
Здесь t – любое целое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах + by = c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (1). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.
Примечание . Название «лекция» как будто говорит о том, что активная роль здесь принадлежит лишь самому учителю, учащимся предоставляется пассивная роль – внимательно слушать рассказ учителя и выполнять в тетради те записи, которые учитель выполняет на классной доске. Если бы это было именно так, то данная форма обучения оказалось бы мало эффективной. Современные требования обучения математике предполагают, что даже в том случае, когда учитель является главным действующим лицом,
необходима активная деятельность самих учащихся. Поэтому лекция учителя должна пробуждать у учащихся интерес и потребность к активной умственной деятельности.
По ходу лекции следует обратиться с вопросами к учащимся . Например: Какие уравнения называются диофантовыми? Какой вид имеет линейное диофантово уравнение? Какие условия накладываются на его коэффициенты? Какой способ решения уравнения мы использовали на предыдущем занятии?
Также на занятиях, где материал изучается крупным блоком, целесообразно создание таблицы в виде конспекта изложенного учителем нового материала. Этот конспект должен стать информационно-справочной таблицей и сыграть свою
роль на занятиях тематического или итогового повторения. Сформулируем некоторые требования к его оформлению. Материал в конспекте должен быть разделен на несколько самостоятельных, логически связанных между собой блоков. В него желательно внести вспомогательные вопросы, с помощью которых готовится введение нового, узловые вопросы темы и ее практическое применение.
Таким образом, с одной стороны, в конце урока желательно иметь конспект, в котором видно главное. А с другой стороны, запись этого конспекта не должна занимать много времени. Для выполнения этих требований можно использовать заготовку для конспекта, т.е. таблицу с пропусками. В нее можно внести рисунок без подписей, частично выполненные условия теоремы, некоторые пункты алгоритмических предписаний и т.п.
Как разработать такой конспект? Учитель сначала разрабатывает конспект полностью на листе бумаге стандартного размера. На другом таком же листе он выписывает конспект-заготовку в строгом расположении текста на основном конспекте. Этот фрагментарный конспект необходимо размножить, чтобы к лекции такой конспект-заготовку имел каждый ученик. Точно такой конспект «с пропусками» учитель должен заранее написать на доске
перед началом лекции или подготовить его компьютерный вариант для использования в классе с интерактивной доской. Для проведения данной лекции был подготовлен такой
конспект-заготовка (Приложение 4).
3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Рассмотрим решение заданий №6 (а), №7 из Приложения 1.
Задание №6 . Решить уравнение на множестве целых чисел
НОД(7;11)=1, Найдем значение х 0 и у 0 для получения решений уравнения по формулам (3). Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 7: 
Таким образом, получаем: 
, следовательно х 0 = –3, у 0 =2
Запишем общее решение уравнения на множестве целых чисел согласно формулам (3):
Придавая конкретные целые значения t , можно получить частные решения уравнения. Например, при t =1, имеем x = –196, у=131.
Задача №7 . Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод протяженностью 150 м. Имеются трубы 13 м и 9м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода.
Пусть требуется x труб по 9 м, и у труб по 13м. Составим и решим уравнение: 9х+13у=150.
НОД(9;13)=1, уравнение разрешимо во множестве целых чисел.
Найдем значение х 0 и у 0 для получения решений уравнения по формулам (3). Применим алгоритм Евклида к числам 13 и 9:
Запишем общее решение уравнения согласно формулам (3).
Так как x и y неотрицательные целые числа, то чтобы найти значение t , решим систему неравенств:
Ответ. Для прокладывания газопровода потребуется 8 труб длиной по 9м и 6 труб длиной по 13м.
4 . В домашнее задание для учащихся необходимо включить подготовку по теоретическому материалу и практические задания.
Учащиеся должны ответить на следующие вопросы.
В чем суть алгоритма Евклида?
Когда уравнение (1) разрешимо во множестве целых чисел?
По каким формулам находится общее решение диофантова уравнения первой степени с двумя переменными с использованием алгоритма Евклида? Укажите, что обозначают буквы, входящие в эти формулы.
При выполнении домашнего задания используется опорный конспект лекции, в котором выделены основные вопросы, рассмотренные на занятии, и заполнены соответственно имеющиеся пропуски (Приложение 4).
В качестве практических заданий можно предложить для решения задания №6 (б), №8 из Приложения 1. Также можно предложить составить сюжетную задачу, решение которой сводится к уравнению из №6 (б) на множестве целых неотрицательных или натуральных чисел. Найти ее решения.
Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
Актуализация знаний ( проверка знания теории и выполнения практических заданий).
Решение задач с использованием алгоритма Евклида.
Постановка домашнего задания.
Оборудование: заполненные конспекты – заготовки предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.
Актуализация знаний. Проведение первого этапа занятия – практикума учитель может спланировать по своему усмотрению. Необходимо организовать проверку выполнения домашнего задания, включающего как теоретические вопросы, так и практические задания.
Решение задач с использованием алгоритма Евклида .
Задания для решения выбираются по принципу: от простого к сложному. Для овладения методом решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида можно предложить вначале решить уравнения, не связанные, с какой либо реальной ситуацией. Например, № 6 (в, г). Затем можно предложить решение текстовых задач на составление линейных диофантовых уравнений. Например, № 9, 10. Все задания указаны из Приложения 1. Задания можно выполнить в группах, а затем проверить полученные ответы. Ниже приведем решение задачи №9.
Неотъемлемой частью занятия – практикума является решение и нестандартных задач, заданий повышенной трудности. В процессе их выполнения можно использовать прием разбиения на подзадачи. К таким заданиям можно отнести и задачу № 11, которую мы далее рассмотрим.
Заметим, что в ходе решения задач, учащиеся могут опираться на заполненный опорный конспект предыдущей лекции, в котором выделен способ решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Задача №9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3, 5 т и 4, 5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?
Пусть x машин по 3,5 т.; у машин по 4, 5 т. Составим и решим уравнение: 3,5х+4,5у=53. Перейдем к уравнению с целыми коэффициентами, например, умножим обе части уравнения на 2. Получим: 7х+9у=106.
НОД(7, 9)=1, уравнение имеет целые решения.
Так как t – принимает целые значения, то системе неравенств удовлетворяют значения t =-47 и t =-46. Получим решение диофантова уравнения в натуральных числах:
Таким образом, для одного рейса можно взять:
А) 1 машину вместимостью 3,5 т и 11 машин вместимостью 4,5 т;
В) 10 машин вместимостью 3,5 т и 4 машины вместимостью 4,5 т.
Полезно обратить внимание на то, какой из возможных вариантов будет наиболее эффективным для работы предприятия с экономической точки зрения (экономия бензина, экономия средств на оплату труда водителям и т.д.) .
Задача №11 . Школа получила 1 млн. руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без сдачи). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3000, 8000 и 12000 руб. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование. Укажите один из способов.
В ходе обсуждения идеи решения данной задачи, необходимо выяснить: что дано, что неизвестно в условии, как связаны между собой данные и искомые. Затем переходить к составлению математической модели задачи.
1 ) составление системы уравнений .
Пусть приобретено x единиц оборудования по 12000 руб., y единиц оборудования по 8000 руб., z единиц оборудования по
3000 руб.
Всего приобретено 100 единиц оборудования, т.е. x + y + z = 100 , причем на приобретение 100 единиц оборудования затрачено 1 млн. руб., т.е.
12000 x + 8000 y + 3000 z = 1 000 000,
12x + 8y + 3z = 1000 .
Таким образом, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными: 
Вопрос учителя: всегда ли задача будет иметь решение? Иначе: какими
должны быть x , y , z ?
( ответ: x >0, y >0, z >0 )
2) обсуждение решения системы.
Во-первых, исключим z , путем вычитания из второго уравнения первого, умноженного на 3. Следовательно, получаем диофантово уравнение 1-ой степени с двумя неизвестными 9 x + 5 y = 700.
Во-вторых, его можно решить способом с использованием алгоритма Евклида.
3) оформление решения задачи.
Так как уже получили уравнение, которое решается известным способом, то оформление решения можно предложить выполнить учащимся дома. В результате решения получается, что приобрести оборудование библиотека может шестью способами. Укажем одно из частных решений задачи: x=65 , y=23, z=12 , т.е. школа на 1 млн. руб. может
приобрести 65 единиц оборудования по 12 тыс. руб., 23 единицы оборудования по 8 тыс. руб., 12 единиц оборудования по 3 тыс. руб.
3. Постановка домашнего задания.
В качестве домашнего задания можно преложить учащимся решить задачи № 2; №3; №5 из Приложения 1 с использованием алгоритма Евклида.
Решение диофантовых уравнений с использованием
План занятия совпадает с планом школьной лекции на указанную тему.
Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби
Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
Примеры решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.
Оборудование: конспект – заготовка лекции на доске и индивидуальные заготовки для каждого ученика.
Занятие № 5 по своей структуре аналогично занятию №3. В качестве примеров решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби, можно рассмотреть задания из Приложения 1. Заметим, что можно взять уже ранее решенные задачи и выполнить их решение новым способом.
Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби
Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (2) вытекает, что дробь a / b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: 
. Из второго равенства той же системы имеем
. Значит, 
Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю q п
В результате мы представим обыкновенную дробь a / b в следующем виде: 
. Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной . Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь . Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись
a / b = [ q 0 ; q 1 , q 2 , …, q п ] .
Представить рациональное число 
в виде цепной дроби.
.
Очевидно, что любое рациональное число, и только оно записывается в виде конечной цепной дроби. Иррациональным числам соответствуют бесконечные цепные дроби.
Если при построении цепной дроби остановиться на знаменателе q k , то получиться дробь [ q 0 ; q 1 , q 2 , …, q к ] , которую называют к-й подходящей дробью для искомой и обозначают 
Найдем вид некоторых подходящих дробей:
Для рационального числа a / b последовательность подходящих дробей конечна, и ее последний элемент 
Нетрудно заметить, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:
(4)
Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
Вернемся к уравнению: ax + by = c (1). Напомним, что в нем a и b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул (доказательство которых можно найти в специальных пособиях), представляющих общее решение данного уравнения
(5)
Учебный проект выполнила ученица 8б класса Малютина Дарья.
В школьном курсе математики диофантовы уравнения не изучаются, но, например, в заданиях ЕГЭ встречаются диофантовы уравнения 2-ой степени, также уравнения часто встречаются и в олимпиадных задачах.
Значит, ученику для успешной сдачи ЕГЭ и решения олимпиадных задач нужно знать и теорию и методику решения диофантовых уравнений.
Просмотр содержимого документа
«Учебный проект " Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения.»
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Выполнила: ученица 8 б класса
Учитель: Затеева Валентина Павловна
В школьном курсе математики диофантовы уравнения не изучаются, но, например, в заданиях ЕГЭ встречаются диофантовы уравнения 2-ой степени, также уравнения часто встречаются и в олимпиадных задачах.
Значит, ученику для успешной сдачи ЕГЭ и решения олимпиадных задач нужно знать и теорию и методику решения диофантовых уравнений.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА
Цель: Научиться решать текстовые задачи, по которым можно составить деофантово уравнение.
- Найти информацию о том, как был открыт алгоритм Евклида.
- Узнать, где применяют диофантовы уравнения в наше время.
- Изучить основные приёмы и методы решения линейных диофантовых уравнений в целых числах.
Евкли́д (от греч. «добрая слава» ) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э.
Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (или общей меры двух отрезков). Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида (III век до н. э.), который впервые описал его . Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.
В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары. Евклид предложил алгоритм только для натуральных чисел и геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Однако в XIX веке он был обобщён на другие типы математических объектов. Это привело к появлению в современной общей алгебре такого понятия, как евклидово кольцо.
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА НАХОЖДЕНИЯ НОД ДЕЛЕНИЕМ
1. Большее число делим на меньшее
2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
3. Переходим к пункту 1.
Найти НОД для 40 и 15.
40/15 = 2 (остаток 10)
15/10 = 1 (остаток 5)
10/5 = 2 (остаток 0).
Конец: НОД — это делитель. НОД (40, 15) = 5
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА НАХОЖДЕНИЯ НОД ВЫЧИТАНИЕМ
1. Из большего числа вычитаем меньшее
2. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла)
3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания
4. Переходим к пункту 1
Найти НОД для 40 и 15.
5 — 5 = 0 Конец: НОД — это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (40, 15) = 5
Диофант (Александрийский) – древнегреческий математик, живший в 3 веке до нашей эры. В своем основном труде "Арифметика", состоящем из 13 книг, он дал решение большого числа задач и, в частности, уравнений, которые теперь называют его именем.
Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида P(x1, x2, . xn) = 0, где P(x1, . xn) — многочлен с целыми коэффициентами. Диофантовым уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и потому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами.
Общий вид линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными: ax+by = c (числа a и b взаимно просты ).
Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Решение. Пусть х — количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3)
В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?
Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами, у – количество страниц с шестью картинами, тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:4x+6y=96.
Решаем это уравнение относительно 4х, то есть:
Делим все уравнение на этот коэффициент:
Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.
Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 — Не походит, решение не в целых числах.
Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.
Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 — Не походит, решение не в целых числах.
Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.
3=7-4∙1. Выразим 4=3∙1+1, = 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2-7∙1=1. Итак, получается х=1; у=2. А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки. " w
В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?
Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке, у – количество плиток горького шоколада в одной коробке, тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:4у-7х=1.
Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.
Выразим 7=4∙1+3, = 3=7-4∙1.
Выразим 4=3∙1+1, = 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2-7∙1=1.
Итак, получается х=1; у=2.
А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ.
Неожиданно, лет 20-30 назад, было осознано, что эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии, чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. п. Теория эта оказалась востребована на практике.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ.
Знаменитый мост «Золотые Ворота», находящийся в Сан-Франциско был построен с применением теории диофантовых уравнений.
Я узнала, что такое алгоритм Евклида и диофантовы уравнения. Научилась находить наибольший общий делить чисел несколькими способами и рассмотрела задачи, которые можно решить, составив диофантово уравнение.
Выявила, где в наше время можно встретить диофантовы уравнения.