Разложение числа на сумму квадратов

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит [1] :

Любое простое число p = 4 n + 1 <displaystyle p=4n+1> , где n <displaystyle n> — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

p = 4 n + 1 , n ∈ N ⇒ p = x 2 + y 2 , <displaystyle p=4n+1,nin mathbb Rightarrow p=x^<2>+y^<2>,>

где p <displaystyle p> — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

5 = 1 2 + 2 2 <displaystyle 5=1^<2>+2^<2>> , 13 = 2 2 + 3 2 <displaystyle 13=2^<2>+3^<2>> , 17 = 1 2 + 4 2 <displaystyle 17=1^<2>+4^<2>> , 29 = 2 2 + 5 2 <displaystyle 29=2^<2>+5^<2>> , 37 = 1 2 + 6 2 <displaystyle 37=1^<2>+6^<2>> , 41 = 4 2 + 5 2 <displaystyle 41=4^<2>+5^<2>> .

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида 4 k + 3 <displaystyle 4k+3> входит в его разложение на простые множители в чётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

Содержание

История [ править | править код ]

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения [2] .

Доказательства [ править | править код ]

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром [3] :

Инволюция конечного множества S = < ( x , y , z ) ∈ N 3 : x 2 + 4 y z = p > <displaystyle S=<(x,y,z)in mathbb ^<3>:x^<2>+4yz=p>> , определённая как

2yend>>"> ( x , y , z ) → < ( x + 2 z , z , y − x − z ) , x y − z ( 2 y − x , y , x − y + z ) , y − z x 2 y ( x − 2 y , x − y + z , y ) , x >2 y <displaystyle (x,y,z)
ightarrow <egin(x+2z,z,y-x-z),&x 2yend>> 2yend>>"/>

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно ( 1 , 1 , k ) <displaystyle (1,1,k)> , так как p = 4 k + 1 <displaystyle p=4k+1> — простое), так что | S | <displaystyle |S|> нечётно и инволюция ( x , y , z ) → ( x , z , y ) <displaystyle (x,y,z)
ightarrow (x,z,y)> также имеет неподвижную точку.

Также есть доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ [4] .

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Существует множество формул для решения подобных выражений, и дело не ограничивается квадратами. При помощи формул легко подсчитать куб разности или сумму многочленов n-ной степени. Мы легко можем подсчитать даже выражение (a + b + c) 3 , однако формулы сокращенного умножения для простого выражения как:

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

a 2 + b 2 = (a + ib) × (a — ib),

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

• 5 и 0 = 25;
• 1 и 4 = 25;
• 8 и 1 = 64;
• 4 и 7 = 64.

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

f 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Каждое целое неотрицательное число можно разложить в сумму из 4 квадратов целых чисел.
Это известное утверждение. Но мне хочется узнать сколькими способами можно разложить в сумму 3 квадратов целых чисел известное мне натуральное число? А может быть известно что-то о распределении чисел, которые не представляются в виде суммы 3 квадратов?

P.S. Я не специалист в теории числе и смежных областях. Поэтому даже не представляю, насколько сложны данные вопросы.

P.S.S. В принципе, мне интересно так же, сколькими способами натуральное число раскладывается в сумму двух квадратов целых чисел. Или хотя бы условия, когда нат. число не раскладывается в сумму 2 квадратов.

В виде суммы трех квадратов представимы все числа, кроме имеющих вид 4^k(8n+7) (k,n — целые неотрицательные).

В виде суммы двух квадратов представимы все числа, в разложение которых на простые множители все простые вида 4k+3 входят в четных степенях.

Количество способов представить число в виде суммы двух квадратов есть разность между количеством делителей вида 4n+1 и 4n+3. В виде суммы четырех квадратов — количество делителей, не кратных 4. (В зависимости от того, считать ли перестановки слагаемых за разные представления, появляются множители).

From: rus4 2008-05-19 04:11 pm (UTC)