Функция Exp в Паскале (и многих других языках программирования) вычисляет экспоненту. Синтаксис:
function Exp(X : ValReal) : ValReal;
О типе ValReal я рассказывал здесь.
Функция Exp X вычисляет и возвращает экспоненту числа X.
Вычисление экспоненты — это вычисление числа е в степени X. То есть
Подробности см. в видео и читайте в статье далее.
Обратная функция Ln
Если вы помните функцию Ln, то вы также помните, что она вычисляет натуральный логарифм.
Так вот, обратной функцией Exp является функция Ln. Иными словами, обратная функция экспоненциальной функции (экспоненты) — это натуральный логарифм. То есть:
e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y
Есть ещё вот такая полезная формула:
x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))
Из этого следует, что используя функции Ln и Exp, мы можем возвести любое число в любую степень. Сделать это можно, например, так:
Если описать это математическим языком, то приведённое выше выражение будет эквивалентно следующей записи:
Правда, надо сказать, что здесь есть нюансы. Есть частные случаи, когда приведённое выше выражение выдаст неправильный результат. Например, когда Y или X отрицательные числа, или когда они равны нулю. Такие ситуации надо обрабатывать дополнительно. Однако эта статья не о возведении в степень, поэтому мы будем рассматривать эти частные случаи в другой статье.
Пример исходного кода, где используется функция Exp:
Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2,71828 с пределом (1 + 1/n) n при n , стремящемся к бесконечности.
Также данное число называют как число Эйлера или число Непера.
Экспонента — показательная функция f(x) = exp (x) = e x , где е — число Эйлера.
Введите значение х, чтобы найти значение экспоненциальной функции e x
Расчет значения экспоненциальной функции онлайн.
При возведении числа Эйлера (е) в нулевую степень ответ будет равняться 1. При возведении в степень, которая будет больше единицы, ответ будет больше первоначального. Если степень будет больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), то ответ будет больше 1, но меньше первоначального (числа е). При возведении экспоненты в отрицательную степень нужно 1 делить на число е в заданной степени, но со знаком плюс.
В прошлом посте мы говорили о том, как пролетели австралийцы с экспонентой.
В этом – постараюсь ответить на главный вопрос жизни Вселенной и все такое.
Где математика экспонента может пригодиться в реальной жизни?
Можно, конечно, скорчить серьезную физиономию и сказать, что,мол:
По экспоненте высыхает земля после дождя, по экспоненте падает давление, когда вы поднимаетесь в горы…. но звучит это как-то по-ботански!
Мало, кто считает диаграммы, придя домой.
Открою страшную тайну:
Вряд ли в жизни придется услышать такое:
— Дайте мне (7! – 6^2+3e^0)^1/4 помидоров и (ln (e^3) ) картофеля, пожалуйста.
— Молодой человек, я не понимаю.
— Мне плевать, я учился не напрасно.
Да, сами по себе занятия математикой неплохо качают мозги (об этом в следующих постах)
Но, если вы не инженер, конструктор, прогер (в некоторых разделах), экономист, аналитик, и прочее .
То экспонента вам в жизни не понадобится…
Вообще-то, есть одна тема, где понимание экспоненты может помочь. Тема, с которой сталкиваются все.
Она может помочь в мегаважном вопросе –
Положили вы в банк 1000 рублей под 10 процентов годовых.
То есть, за год вклад увеличится в 1,1 раза.
Через год будет 1000*1,1 =1100. Небольшая прибыль за то, чтобы отдать кому-то свои кровные.
А если надолго? Тоже мелочь какая-то, вложить лет на 30 и получить что, 3000 сверху? Да нафига?
Вот здесь останавливается большая часть людей которые задумались над тем чтобы как-то преумножать доходы. Но проблема то в том что считается все по-другому!
Но вот тут-то фишка работает по-другому. Ведь в следующий раз проценты начисляются от нового вклада, от 1100
1000*1,1^2 =1221 а не 1200. Вообще, кажется, мелочь, но это не так.
За 30 лет вклад увеличится в 17 раз, а за 40 – в 45!
А если вкладывать под 20 процентов то вклад увеличится в 40 раз уже за 20 лет
Вроде разница не очень велика, но чем дольше вкладываете, тем круче рост.
Не какая-то там примитивная линейная функция или тормознутая парабола, график растет Экспоненциально. Даша, напомни, пожалуйста.
Это ярче всего описывает история, как индейцы продали остров Манхеттен буквально за бусы.
Ну,не то что за бисер. за товары общей стоимостью в 60 гульденов (около 24 долларов, на современные – это около 700). Одеяла, котлы, топоры, ножи и . вампум (индейский бисер, который у них шел вместо денег)
И это приводят в пример того, как белые обманули индейцев. Ибо теперь Манхеттен стоит больше 50 000 000 000 $ . А купили за 30$.
Но, все не так однозначно.
Если бы индейцы положили в банк 30 баксов под 6 процентов годовых, то за 400 лет получили бы почти 400 млрд долларов!
30*1,06^400 = 397 619 212 307
И могли бы скупить весь Манхеттен на корню вместе со всем содержимым.
Есть ощущение, что к этому моменту народ постарше начинает кипеть
Тут есть важный нюанс – все это работает, если экономика и государство находятся в худо-бедно стабильном и рыночном состоянии.
Например, в США частенько были проблемы с финансами и гиперинфляцией. Так в 1865 г., после Гражданской войны, сбережения многих вкладчиков банков резко обесценились и стали мизерными. 150 лет назад.
А у нас, было как
Ну и по мелочи – 1998, 2014
Но страна-то сменилась. И теперь можно делать стандартные для инвестиций штуки, чтобы минимизировать риски: диверсификация активов, инвестирование в разных валютах и в компании разных стран.
Чтоб, если и профукать все деньги, то только, если вся Земля разом обанкротится.
А вместе оно веселей.
Да,много сложностей- и учиться инвестициям,и опасности- пирамиды, санация банков, падение рынка. Поэтому, кстати и не говорю про проценты более 20 в год- там са-а-а-авсем другие уровни рисков. Но если серьезно сесть и посчитать- 20 процентов в год,если планировать на сколько-нибудь долгий период,очень даже неплохо!
Фонд Уоррена Баффета на протяжении около 50 лет давал среднюю доходность в 20 процентов годовых,. и вот он один из трех самых богатых людей мира, в 2008 и вовсе потеснивший с первого места Билла Гейтса.
Вообще, в европейских странах, не так запуганных этим «Вжух»,
С первой зарплаты народ начинает вкладывать на свадьбу-рождение-обучение детей.
Ну, а что делать, если денег нет? И получить хочется быстрее, чем через 30 лет?
Можно заработать, запустить свое дело.
Но чтобы заработать денег – надо деньги. Стартовый капитал, так его.
Взять его можно у тех, у кого деньги уже есть
Есть более безопасный способ.
Прийти к инвесторам и сказать, дайте денег.
И когда вы пойдете просить денег, вдруг окажется, что права была Марь Петровна, приговаривая
« Учи Сидоров, экспоненту! В жизни пригодится»
Ибо люди, которые дают другим деньги на бизнес, редко когда оказываются совсем уж дебилами.
У дебилов просто не будет много денег. Ну… в теории.
И инвесторов нужно убедить, доказать, что ваш проект – хорошая инвестиция.
И вот тут-то и нужна, оказывается, математика, в том числе, экспонента.
По экспоненте, при хорошей конъюнктуре растут продажи и доход.
Для того, чтобы захватить мир, Макдональдсу оказалось достаточно расти на 15 процентов в год на протяжении 45 лет с 1950 до 1985.
И если бизнес сможет расти по экспоненте хотя бы несколько лет – это уже очень круто.
(то не какая-то абстрактная теория, это вопросы одного из моих взрослых учеников, который запускал новый бизнес. Готовил бизнес-план для представления инвесторам. Математикой занимался "для себя")
Не всегда это работает, но без четкого плана, как и сколько зарабатывать, денег обычно не дают.
Рост акций Эппл. Похоже?
В общем, экспонента – это классная тема)
Следующий пост – про падающую экспоненту и о том, почему мы не пользуемся искусственным золотом (почти).
*Строго говоря, экспонента – это график e^x, где е
2,7… (число Эйлера)
Это число и называется экспонентой.,равно как и график. А те что здесь в математике называются показательной функцией. Но в обычной жизни все графики, которые растут пропорционально иксу часто обзывают общем названием экспонентой, а рост графика — экспоненциальным ростом,ибо растет похоже на график e^x. Почему именно 2,7? Об этом как-нибудь в другой раз.